《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例 1 已知圆柱的体积为 $6\pi cm^{3}$,其底面积为 $y(cm^{2})$,高为 $x(cm)$,则 $y$ 关于 $x$ 的函数的图象大致是(B)
【思路导析】1. 圆柱的体积 = 底面积 × 高；
2. 反比例函数的图象是双曲线；
3. 圆柱的底面积和高不能为负数.
【请你解答】______.

答案： B

例

2 (1)已知反比例函数 $y= \frac{3 - k}{x}$ 的图象位于第一、三象限,求 $k$ 的取值范围；
(2)已知反比例函数 $y= (a - 2)x^{|a| - 4}$,当 $x＞0$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,求此函数的解析式.
【思路导析】利用反比例函数的性质作答.
【请你解答】

答案：
(1)k＜3；
(2)由|a|-4=-1知|a|=3，故a=±3.当a=3时，a-2＞0，该反比例函数的图象分布在第一、第三象限，当x＞0时，y随x增大而减小，不合题意，舍去.当a=-3时，a-2=-5＜0，该反比例函数的图象分布在第二、第四象限，当x＞0时，y随x的增大而增大，符合题意，故a=-3，此时该反比例函数的解析式为$ y=-\dfrac{5}{x} $.

例 3 如图,过反比例函数 $y= \frac{1}{x}(x＞0)$ 的图象上任意两点 $A$,$B$ 分别作 $x$ 轴的垂线,垂足分别为 $C$,$D$,连接 $OA$,$OB$,设 $\triangle AOC$ 和 $\triangle OBD$ 的面积分别为 $S_{1}$,$S_{2}$,比较 $S_{1}$,$S_{2}$ 的大小,可以得到(B)

A.$S_{1}＞S_{2}$
B.$S_{1}= S_{2}$
C.$S_{1}＜S_{2}$
D.$S_{1}$,$S_{2}$ 的大小无法确定

答案： 【探究点拨】注意点的坐标与三角形面积的关系.
【规范解答】$S_{\triangle AOC}= \frac{1}{2}×OC×AC$,
$S_{\triangle BOD}= \frac{1}{2}×OD×BD$,
又因为点 $A$,$B$ 在 $y= \frac{1}{x}$ 的图象上,
故 $OC·AC = OD·BD = 1$,
所以 $S_{\triangle AOC}= \frac{1}{2}×1= \frac{1}{2}$,$S_{\triangle BOD}= \frac{1}{2}×1= \frac{1}{2}$,
即 $S_{1}= S_{2}$,选 B.

1. 在平面直角坐标系内,过反比例函数 $y= \frac{k}{x}(k＞0)$ 的图象上的一点分别作 $x$ 轴、$y$ 轴的垂线,与 $x$ 轴,$y$ 轴所围成的矩形的面积是 $6$,则该函数的解析式为$ y=\dfrac{6}{x} $.

答案： $ y=\dfrac{6}{x} $

2. 如图,点 $A$ 在双曲线 $y= \frac{k}{x}$ 上,$AB⊥y$ 轴于点 $B$,则 $S_{\triangle AOB}= $$\dfrac{1}{2}k$(用含 $k$ 的式子表示).

答案： $ \dfrac{1}{2}k $