《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例 1 (1) 在同一直角坐标系内画出 $ y = x^2 $,$ y = (x - 2)^2 $,$ y = (x + 2)^2 $ 的图象；

(2) 写出各自的顶点坐标。

【思路导析】先画图,再写顶点坐标。
【请你解答】

答案：

(1)
(2)y=x²的顶点为(0,0);y=(x−2)²的顶点为(2,0);y=(x+2)²的顶点为(−2,0).

例 2 关于二次函数 $ y = -3(x - 1)^2 $,下列说法正确的有(C)
① 因为 $ a = -3 ＜ 0 $,所以开口向上；② 顶点坐标为 $ (1, 0) $；③ 对称轴为直线 $ x = 1 $；④ 将 $ y = -3x^2 $ 的图象向右平移 1 个单位长度就得 $ y = -3(x - 1)^2 $ 的图象。
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
【思路导析】结合图象并根据二次函数 $ y = a(x - h)^2 $ 的性质进行解答。
【请你解答】 。

答案： C

例 3 已知抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 的对称轴为直线 $ x = -2 $,且过点 $ (1, -3) $。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 画出该函数的图象；
(3) 从图象上观察,当 $ x $ 取何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？当 $ x $ 取何值时,函数有最大值(或最小值)？

答案：
【探究点拨】求出该抛物线的解析式后结合图象进行分析。
【规范解答】
(1) 抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 的对称轴为直线 $ x = -2 $,则 $ y = a(x + 2)^2 $。
把 $ (1, -3) $ 代入上式,得 $ -3 = a(1 + 2)^2 $,
即 $ a = -\frac{1}{3} $,故该抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{3}(x + 2)^2 $。
(2) 图象如下：

(3) 从图象可以看出当 $ x ＜ -2 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 增大而增大,当 $ x = -2 $ 时,函数有最大值,最大值为 0。

1. 某抛物线的形状和抛物线 $ y = 2x^2 $ 的形状相同,对称轴平行于 $ y $ 轴,并且顶点坐标是 $ (-1, 0) $,则此抛物线的解析式为 y=2(x+1)²或y=−2(x+1)²。

答案： y=2(x+1)²或y=−2(x+1)²

2. 已知二次函数 $ y = a(x - h)^2 $ 图象的顶点坐标是 $ (-5, 0) $,且过点 $ (0, -3) $。
(1) 求二次函数的解析式；
(2) 当 $ x $ 为何值时,函数值 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？

答案：
(1)
∵二次函数y=a(x−h)²图象的顶点坐标是(−5,0),
∴h=−5,即二次函数的解析式为y=a(x+5)².
∵二次函数图象过点(0，−3)，
∴a(0+5)²=−3,解得a=−$\frac{3}{25}$.
∴二次函数的解析式为y=−$\frac{3}{25}$(x+5)².
(2)
∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x=−5,
∴当x＜−5时，函数值y随x的增大而增大.