《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 一元二次方程$x^{2}+6x - k = 0的一个根为2$,则另一个根为-8,$k= $16。

答案： -8,16

2. 若一元二次方程$x^{2}= x + 1的两个实数根为x_{1},x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}= $1,$x_{1}x_{2}= $-1。

答案： 1,-1

3. 一元二次方程$7x^{2}-x - 11 = 0的两个实数根为\alpha,\beta$,则$(\alpha - 1)(\beta - 1)= $$-\frac {5}{7}$。

答案： $-\frac {5}{7}$

4. 若一元二次方程$x^{2}-2x - 3599 = 0的两根分别为a,b$,且$a＞b$,则$2a - b$的值为(D)
A.$-57$
B.$63$
C.$179$
D.$181$

答案： D

5. 已知一元二次方程$2x^{2}-5x + 1 = 0的两个实数根为x_{1},x_{2}$,下列结论正确的是(D)
A.$x_{1}+x_{2}= -\frac{5}{2}$
B.$x_{1}x_{2}= 1$
C.$x_{1},x_{2}$都是有理数
D.$x_{1},x_{2}$都是正数

答案： D

6. 若$a,b是方程x^{2}+x - 2025 = 0$的两个实数根,则$a^{2}+2a + b$的值是(B)
A.$2023$
B.$2024$
C.$2025$
D.$2026$

答案： B

7. 求下列一元二次方程的两个实数根的和与积。
(1)$5x + 6 = x^{2}+x$；
(2)$(3 - x)^{2}= 4x^{2}+5$；
(3)$x^{2}-4x + 4= (5 - 2x)^{2}$。

答案：
(1)$x_{1}+x_{2}=4,x_{1}x_{2}=-6$;
(2)$x_{1}+x_{2}=-2,x_{1}x_{2}=-\frac {4}{3}$;
(3)$x_{1}+x_{2}=\frac {16}{3},x_{1}x_{2}=7$

8. 若$\alpha,\beta是方程x^{2}-2x - 3 = 0$的两个实数根,求$\alpha^{2}+\beta^{2}$的值。

答案： $\alpha +\beta =2,\alpha \beta =-3,$$\alpha ^{2}+\beta ^{2}=(\alpha +\beta )^{2}-2\alpha \beta =2^{2}-2×(-3)=4+6=10.$

9. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}+\sqrt{m}x - 2 = 0$有两个实数根。
(1)求$m$的取值范围；
(2)设方程的两根为$x_{1},x_{2}$,且满足$(x_{1}-x_{2})^{2}-17 = 0$,求$m$的值。

答案：
(1)
∵关于x的一元二次方程$x^{2}+\sqrt {m}x-2=0$有两个实数根,$\therefore \Delta =(\sqrt {m})^{2}-4×1×(-2)=m+8\geq0$,且$m\geq0,\therefore m\geq0.$
(2)
∵关于x的一元二次方程$x^{2}+\sqrt {m}x-2=0$有两个实数根$x_{1}$、$x_{2},\therefore x_{1}+x_{2}=-\sqrt {m},x_{1}\cdot x_{2}=-2.$$\therefore (x_{1}-x_{2})^{2}-17=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}\cdot x_{2}-17=0$,即$m+8-17=0,\therefore m=9.$

10. 已知实数$m,n满足m^{2}-m - 1 = 0$,$n^{2}-n - 1 = 0$,且$m\neq n$,则$m,n是方程x^{2}-x - 1 = 0$的两个不相等的实数根,由根与系数的关系可知$m + n = 1$,$mn= -1$。根据上述材料,解决以下问题。
(1)直接应用：已知实数$a,b满足a^{2}-7a + 1 = 0$,$b^{2}-7b + 1 = 0$,且$a\neq b$,则$a + b= $7,$ab= $1；
(2)间接应用：在(1)的条件下,求$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的值；
7
(3)拓展应用：已知实数$m,n满足\frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{m}= 7$,$n^{2}-n = 7$,且$mn + 1\neq0$,求$\frac{mn - 1}{m}$的值。
1

答案： 1. （1）
因为实数$a,b$满足$a^{2}-7a + 1 = 0$，$b^{2}-7b + 1 = 0$，且$a\neq b$，
所以$a,b$是方程$x^{2}-7x + 1 = 0$的两个不相等的实数根。
根据根与系数的关系$x_1 + x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$（对于一元二次方程$Ax^{2}+Bx + C = 0(A\neq0)$），在方程$x^{2}-7x + 1 = 0$中，$A = 1$，$B=-7$，$C = 1$，则$a + b=7$，$ab = 1$。
2. （2）
解：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b + a}{ab}$。
由（1）知$a + b = 7$，$ab = 1$，
所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{7}{1}=7$。
3. （3）
解：因为$\frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{m}=7$，等式两边同时乘以$m^{2}$得$1 + m=7m^{2}$，移项得$7m^{2}-m - 1 = 0$；
又因为$n^{2}-n = 7$，移项得$n^{2}-n - 7 = 0$，
且$mn+1\neq0$，即$n\neq-\frac{1}{m}$。
对于方程$7x^{2}-x - 1 = 0$和$x^{2}-x - 7 = 0$，
把$x = n$代入$x^{2}-x - 7 = 0$，把$x=-\frac{1}{m}$代入$7x^{2}-x - 1 = 0$得$7×(-\frac{1}{m})^{2}-(-\frac{1}{m})-1 = 0$，即$\frac{7}{m^{2}}+\frac{1}{m}-1 = 0$，两边同乘$m^{2}$得$7 + m - m^{2}=0$，即$m^{2}-m - 7 = 0$。
所以$-\frac{1}{m},n$是方程$x^{2}-x - 7 = 0$的两个实数根。
根据根与系数的关系$x_1 + x_2=-\frac{b}{a}$（对于一元二次方程$Ax^{2}+Bx + C = 0(A\neq0)$），在方程$x^{2}-x - 7 = 0$中，$A = 1$，$B=-1$，$C=-7$，则$-\frac{1}{m}+n = 1$。
所以$\frac{mn - 1}{m}=n-\frac{1}{m}=1$。
综上，答案依次为：（1）$7$，$1$；（2）$7$；（3）$1$。