《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

19. 在一块长为 16 m、宽为 12 m 的矩形荒地上,要建造一个花园,使花园所占的面积为荒地面积的一半. 小明设计的方案如图所示,其中花园四周小路的宽度都相等,求小路的宽.

答案： 设小路宽为x m,则根据题意,可得(16-2x)(12-2x)=1/2×16×12,即x²-14x+24=0,解得x₁=2,x₂=12.
∵矩形荒地的宽是12 m,
∴x=12不符合题意,
∴x=2.答:花园四周小路宽为2 m.

20. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-(k + 1)x+\frac{1}{4}k^{2}+1 = 0$.
(1) 当 $k$ 取何值时,方程有两个实数根？
(2) 是否存在实数 $k$ 使方程的两个根为一个矩形的两邻边长,且矩形的对角线长为 $\sqrt{5}$？请通过计算说明.

答案：
(1)
∵Δ=[-(k+1)]²-4×(1/4k²+1)=2k-3≥0,
∴k≥3/2.
(2)设方程的两根为x₁,x₂,
∴x₁²+x₂²=5.
∵x₁+x₂=k+1,x₁x₂=1/4k²+1,
∴x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=(k+1)²-2×(1/4k²+1)=5.解得k₁=-6,k₂=2.
∵x₁+x₂=k+1＞0,
∴k＞-1.且由
(1)得k≥3/2,
∴k=2.

21. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $mx^{2}-(m + 2)x + 2 = 0$($m\neq0$).
(1) 求证：方程总有两个实数根；
(2) 若方程的两个实数根都是整数,求整数 $m$ 的值.

答案： $(1)$ 证明方程总有两个实数根
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$mx^{2}-(m + 2)x + 2 = 0$（$m\neq0$）中，$a = m$，$b=-(m + 2)$，$c = 2$。
则$\Delta =[-(m + 2)]^{2}-4× m×2$
$=m^{2}+4m + 4-8m$
$=m^{2}-4m + 4$
$=(m - 2)^{2}$。
因为任何数的平方都大于等于$0$，即$(m - 2)^{2}\geq0$，也就是$\Delta\geq0$。
所以方程总有两个实数根。
$(2)$ 求整数$m$的值
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，可得：
$x=\frac{(m + 2)\pm\sqrt{(m - 2)^{2}}}{2m}=\frac{(m + 2)\pm(m - 2)}{2m}$。
则$x_{1}=\frac{(m + 2)+(m - 2)}{2m}=\frac{2m}{2m}=1$，$x_{2}=\frac{(m + 2)-(m - 2)}{2m}=\frac{4}{2m}=\frac{2}{m}$。
因为方程的两个实数根都是整数，$x_{1}=1$是整数，所以$\frac{2}{m}$为整数。
又因为$m$为整数，所以$m=\pm1$，$\pm2$。
综上，$(1)$ 证明见上述过程；$(2)$ 整数$m$的值为$\boldsymbol{\pm1,\pm2}$。

22. 如图,$\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 6cm$,$BC = 8cm$,点 $P$ 从点 $A$ 开始沿 $AC$ 向点 $C$ 以 $1cm/s$ 的速度移动,到 $C$ 点停止. 点 $Q$ 从点 $C$ 开始沿 $CB$ 向点 $B$ 以 $2cm/s$ 的速度移动,到 $B$ 点停止.
(1) 如果点 $P$,$Q$ 同时出发,经过几秒钟,$S_{\triangle QPC}= 8cm^{2}$？
(2) 如果点 $P$ 从点 $A$ 先出发 2 s,点 $Q$ 再从点 $C$ 出发,经过几秒后 $S_{\triangle QPC}= 4cm^{2}$？

答案：
(1)设经过x s,S△QPC=8 cm²,则1/2(6-x)·2x=8,
∴x₁=2,x₂=4;
(2)设点P出发x s后S△QPC=4 cm²,则1/2(6-x)×2(x-2)=4,x₁=x₂=4.点P出发经过4 s后S△QPC=4.