《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例 1 如图,用一个半径为 $ R $,圆心角为 $ 90^{\circ} $ 的扇形做成一个圆锥的侧面,设圆锥底面的半径为 $ r $,求 $ R:r $。

【思路导析】扇形的弧长与圆锥底面的圆周长相等。
【请你解答】

答案： $\because \frac {nπR}{180}=2πr,\therefore \frac {90πR}{180}=2πr,\therefore \frac {R}{r}=4.$

例 2 制作一个高为 $ 12 \mathrm{cm} $,底面直径为 $ 10 \mathrm{cm} $ 的圆锥,求这个圆锥的全面积。
【思路导析】运用公式 $ \pi r l+\pi r^{2} $ 求全面积。
【请你解答】

答案： $90π$

例

3 如图,已知圆锥的底面半径 $ O A= 10 \mathrm{cm} $,母线 $ C A= 40 \mathrm{cm} $,一蚂蚁由底面上一点 $ A $ 出发,绕其侧面一周的最短路线的长度是多少？

答案：
【探究点拨】画出圆锥侧面展开图,运用勾股定理求解。
【规范解答】设展开图的圆心角为 $ n $,
则 $ 2 \pi × 10= \frac{n \pi × 40}{180^{\circ}} $,
$ n= 90^{\circ} $。
所以 $ \triangle A C A^{\prime} $ 为直角三角形,
$ \therefore A A^{\prime}=\sqrt{40^{2}+40^{2}}= 40 \sqrt{2} $。
即蚂蚁爬行的最短路程为 $ 40 \sqrt{2} \mathrm{cm} $。

1. 已知圆锥底面圆的半径为 $ 6 \mathrm{cm} $,高为 $ 8 \mathrm{cm} $,求圆锥的侧面积和全面积。

答案： $S_{侧}=πrl=π×6×10=60π,$$S_{全}=S_{侧}+S_{底}=60π+π×6^{2}=96π.$

2. 一个圆锥的高度为 $ 3 \sqrt{3} \mathrm{cm} $,侧面展开图是半圆,求圆锥的母线长和底面半径。

答案： $2πr=πR,R=2r,(2r)^{2}-r^{2}=27.$$\therefore r=3,R=6$.圆锥母线长为6,底面半径长为3.