《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例

1 解下列方程：
(1)$(x + 1)(x - 2) = 0$； (2)$5x^{2} - 3x = 0$.
【思路导析】(1)解一元一次方程$x + 1 = 0和x - 2 = 0$即可；(2)将$5x^{2} - 3x分解因式为x(5x - 3)$.
【请你解答】

答案：
(1)$x_{1}=-1$,$x_{2}=2$;
(2)$x_{1}=0$,$x_{2}=\frac{3}{5}$

例 2 解下列方程：
(1)$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0$； (2)$(x - 4)^{2} = (5 - 2x)^{2}$.
【思路导析】(1)原方程可化为$(x - \frac{1}{2})^{2} = 0$；(2)先移项,再用平方差公式分解因式.
【请你解答】

答案：
(1)$x_{1}=x_{2}=\frac{1}{2}$;
(2)$x_{1}=1$,$x_{2}=3$

例 3 解方程$4(x - 1)^{2} = x^{2} - x$.阅读下列解题过程：
解：将方程变形,得
$4(x - 1)^{2} = x(x - 1)$,
两边约去$x - 1$,得
$4(x - 1) = x$,
所以$3x = 4$,
即$x = \frac{4}{3}$.
上述解答有问题吗？为什么？如果有问题,请你写出正确的解答过程.

答案： 【探究点拨】因为$x - 1可能为0$,故方程两边不能约去$x - 1$,应将右边项移到左边,运用因式分解法求解.
【规范解答】原方程变形,得
$4(x - 1)^{2} - (x^{2} - x) = 0$,
即$4(x - 1)^{2} - x(x - 1) = 0$,
化简得$(x - 1)[4(x - 1) - x] = 0$,
所以$x - 1 = 0或4(x - 1) - x = 0$.
即$x_{1} = 1$,$x_{2} = \frac{4}{3}$.

1. 用因式分解法解下列方程：
(1)$\sqrt{3}x^{2} - \sqrt{6}x = 0$；
(2)$4x^{2} - 8x = - 4$.

答案：
(1)$x_{1}=0$,$x_{2}=\sqrt{2}$;
(2)$x_{1}=x_{2}=1$

2. 已知实数$a满足a^{2} + \frac{1}{a^{2}} - 3a - \frac{3}{a} = 8$,求$a + \frac{1}{a}$的值.
解：$a^{2} + \frac{1}{a^{2}} - 3a - \frac{3}{a} - 8 = 0$.
$a^{2} + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + (\frac{1}{a})^{2} - 3(a + \frac{1}{a}) - 10 = 0$.
$\therefore$($a+\frac{1}{a}$)$^{2} - 3(a + \frac{1}{a}) - 10 = 0$.
$\therefore a + \frac{1}{a} = $5,或$a + \frac{1}{a} = $-2.

答案： $a+\frac{1}{a}$,5,-2