《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 抛物线 $ y = -(x + 1)^2 $ 的开口向下,对称轴是直线x=−1,顶点坐标是(−1,0)。

答案： 下,x=−1,(−1,0)

2. 平行于 $ x $ 轴的直线与抛物线 $ y = a(x - 1)^2 $ 的一个交点坐标为 $ (-1, 2) $,则另一个交点坐标是 (3,2)。

答案： (3,2)

3. 已知抛物线 $ y = 3(x - 1)^2 $,当 $ x $ ＜1时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,当 $ x = $ 0时,$ y_{最小值} = $ ＞1 ,当 $ x $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。

答案： ＜1,0,＞1

4. 下列说法不正确的是(D)
A.抛物线 $ y = 2x^2 $ 向左平移 1 个单位长度得 $ y = 2(x + 1)^2 $
B.抛物线 $ y = -(x - 3)^2 $ 向左平移 3 个单位长度得 $ y = -x^2 $
C.抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 $ 向右平移 2 个单位长度得 $ y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 $
D.抛物线 $ y = -2(x - 1)^2 $ 向右平移 2 个单位长度得 $ y = -2(x + 1)^2 $

答案： D

5. 若抛物线 $ y = 2(x - 1)^2 $ 经过 $ (m, n) $ 和 $ (m + 3, n) $ 两点,则 $ n $ 的值为(A)
A.$ \frac{9}{2} $
B.$ -\frac{9}{2} $
C.1
D.$ -\frac{1}{2} $

答案： A

6. 在平面直角坐标系中,函数 $ y = -x + 1 $ 与 $ y = -\frac{3}{2} \cdot (x - 1)^2 $ 的图象大致是(D)

答案： D

7. 已知抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 的对称轴是直线 $ x = -1 $,与 $ y $ 轴交于点 $ (0, 2) $。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 画出抛物线的图象；
(3) 当 $ x $ 为何值时,$ y $ 随 $ x $ 增大而减小？

答案：

(1)把h=−1和(0,2)代入式中,2=a(0+1)²,
∴a=2,
∴y=2(x+1)².
(2)如图.
(3)当x＜−1时,y随x增大而减小.

8. 已知某二次函数的图象的顶点与抛物线 $ y = (x - 2)^2 $ 的顶点相同,且其图象经过点 $ (-3, 9) $,求这个二次函数的解析式。

答案： y=$\frac{9}{25}$(x−2)²

9. 如图,抛物线 $ y = a(x + 1)^2 $ 的顶点为 $ A $,与 $ y $ 轴的负半轴交于点 $ B $,且 $ S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} $。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 若 $ C $ 是该抛物线上 $ A $,$ B $ 两点之间的一点,求 $ \triangle ABC $ 面积的最大值。

答案：
(1)由题意得A(−1,0),B(0,a),
∴OA=1,OB=−a.
∵S△AOB=$\frac{1}{2}$
∴$\frac{1}{2}$×1×(−a)=$\frac{1}{2}$,解得a=−1.
∴抛物线的解析式为y=−(x+1)².
(2)
∵A(−1,0),B(0,−1),
∴直线AB的解析式为y =−x−1.过C作CD⊥x轴,交直线AB于点D,设C(x,−(x+1)²),则D(x,−x−1),
∴CD=−(x+1)²+x+1.
∵S△ABC=S△ACD+S△BCD=$\frac{1}{2}$[−(x+1)²+x+1]×1=−$\frac{1}{2}$(x+$\frac{1}{2}$)²+$\frac{1}{8}$,且−$\frac{1}{2}$＜0,
∴当x=−$\frac{1}{2}$,即C(−$\frac{1}{2}$,−$\frac{1}{4}$)时,△ABC的面积最大，最大值为$\frac{1}{8}$.