《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例1 已知 $ Rt \triangle ABC $ 和 $ Rt \triangle A'B'C' $,$ \angle C = \angle C' = 90^{\circ} $,$ AC = 3 $,$ BA = 4 $,$ A'C' = 6 $,$ B'A' = 8 $。那么这两个直角三角形是否相似？
【思路导析】斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。
【请你解答】

答案： 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{1}{2}$，
∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.

例2 如图,$ CD $ 是 $ Rt \triangle ABC $ 斜边 $ AB $ 上的高,试说明 $ \triangle ADC $ 和 $ \triangle CDB $ 都与 $ \triangle ABC $ 相似。
【思路导析】从“两角对应相等的两个三角形相似”进行分析。
【请你解答】

答案： 在△ABC和△ADC中，∠ACB=∠ADC=90°，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD. 在△ACB和△CDB中，∠ACB=∠CDB=90°，∠B=∠B，
∴△ACB∽△CDB.

例3 如图,$ CE $ 是 $ Rt \triangle ABC $ 斜边上的高,在 $ EC $ 的延长线上取一点 $ P $,连接 $ AP $,作 $ BG \perp AP $ 于点 $ G $,交 $ CE $ 于点 $ D $。

(1) 求证：$ CE^{2} = AE \cdot BE $；
(2) 求证：$ CE^{2} = ED \cdot EP $。

答案： 【探究点拨】
(1) 证明 $ \triangle AEC \sim \triangle CEB $；
(2) 证明 $ \triangle AEP \sim \triangle DEB $。
【规范解答】
(1) $ \because \angle ACB = 90^{\circ} $,
$ \therefore \angle ACE + \angle BCE = 90^{\circ} $。
又 $ \angle AEC = 90^{\circ} $,$ \angle ACE + \angle CAE = 90^{\circ} $,
$ \therefore \angle CAE = \angle BCE $。又 $ \angle AEC = \angle CEB = 90^{\circ} $,
$ \therefore \triangle AEC \sim \triangle CEB $。
$ \therefore \frac{CE}{BE} = \frac{AE}{CE} $,$ \therefore CE^{2} = AE \cdot BE $。
(2) $ \because BG \perp AP $,$ \angle PDG = \angle BDE $,
$ \therefore \angle P = \angle EBD $。
而 $ \angle AEP = \angle BEC = 90^{\circ} $,
$ \therefore \triangle AEP \sim \triangle DEB $,$ \therefore \frac{AE}{ED} = \frac{EP}{BE} $,
$ \therefore AE \cdot BE = ED \cdot EP $。
由
(1)知 $ AE \cdot BE = CE^{2} $,$ \therefore CE^{2} = ED \cdot EP $。

1. $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ CD \perp AB $ 于 $ D $,若 $ BC = 6 $,$ AB = 10 $,求 $ AD $ 和 $ CD $ 的长。

答案：
∵△BCD∽△BAC，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$.
∴$BC^2=AB\cdot BD$，$BD=\frac{6^2}{10}=3.6$，$AD=10-3.6=6.4$.$CD^2=BD\cdot AD=3.6×6.4$，$CD=4.8$.

2. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ P $ 是 $ AB $ 上一点,且点 $ P $ 不与点 $ A $ 重合,过点 $ P $ 作 $ PE \perp AB $ 交 $ AC $ 边于 $ E $ 点,点 $ E $ 不与点 $ C $ 重合。若 $ AB = 10 $,$ AC = 8 $,设 $ AP = x $,四边形 $ PECB $ 的周长为 $ y $,求 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式。

答案： $BC=\sqrt{10^2-8^2}=6$，易证△APE∽△ACB，则$\frac{PE}{BC}=\frac{AP}{AC}$，$\frac{AE}{AB}=\frac{AP}{AC}$，
∴$PE=\frac{3}{4}x$，
∴$AE=\frac{5}{4}x$，
∴$y=\frac{3}{4}x+(8-\frac{5}{4}x)+6+(10-x)=-\frac{3}{2}x+24$.