《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 把 $ y = -x^2 - 2x - 3 $ 配方成 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的形式为 $ y = $-(x+1)²-2.

答案： -(x+1)²-2

2. 二次函数 $ y = x^2 - 2x + 5 $ 的最小值是 4.

答案： 4

3. 抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^2 + x - 4 $ 的开口方向为向下,对称轴是x=2,顶点坐标为(2,-3).

答案： 向下,x=2,(2,-3)

4. 抛物线 $ y = x^2 - 2x + m^2 + 2 $($ m $ 是常数)的顶点在(A)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： A

5. 如图,二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $($ a \neq 0 $)的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A(-1, 0) $,其对称轴为直线 $ x = 1 $,下面结论中正确的是(D)

A.$ abc ＞ 0 $
B.$ 2a - b = 0 $
C.$ 4a + 2b + c ＜ 0 $
D.$ 9a + 3b + c = 0 $

答案： D

6. 已知二次函数 $ y = ax^2 - 2ax + 1 $($ a $ 为常数,且 $ a ＞ 0 $)的图象上有 $ A(-3, y_1) $,$ B(1, y_2) $,$ C(2, y_3) $ 三点,则 $ y_1 $,$ y_2 $,$ y_3 $ 的大小关系是(D)
A.$ y_1 ＜ y_2 ＜ y_3 $
B.$ y_1 ＜ y_3 ＜ y_2 $
C.$ y_2 ＜ y_1 ＜ y_3 $
D.$ y_2 ＜ y_3 ＜ y_1 $

答案： D

7. 若抛物线 $ y = ax^2 + x + 2 $ 经过点 $ A(-1, 0) $,则该抛物线的顶点坐标为(B)
A.$ (-1, 0) $
B.$ \left( \frac{1}{2}, \frac{9}{4} \right) $
C.$ (0, 2) $
D.$ (2, 0) $

答案： B

8. 将抛物线 $ C_1: y = x^2 + 2x + 3 $ 先向右平移 $ 4 $ 个单位长度,再向下平移 $ 5 $ 个单位长度得到抛物线 $ C_2 $.
(1) 直接写出抛物线 $ C_2 $ 的函数解析式；
(2) 动点 $ P(a, -6) $ 是否在抛物线 $ C_2 $ 上？请说明理由；
(3) 若点 $ A(m, y_1) $,$ B(n, y_2) $ 都在抛物线 $ C_2 $ 上,且 $ m ＜ n ＜ 0 $,比较 $ y_1 $,$ y_2 $ 的大小,并说明理由.

答案：
(1)
∵y=x²+2x+3=(x+1)²+2,
∴把抛物线C₁:y=x²+2x+3先向右平移4个单位长度,再向下平移5个单位长度得到抛物线C₂:y=(x+1-4)²+2-5,即y=(x-3)²-3.
∴抛物线C₂的函数解析式为y=(x-3)²-3.
(2)动点P(a,-6)不在抛物线C₂上.理由如下:
∵抛物线C₂的函数解析式为y=(x-3)²-3,
∴函数的最小值为-3.
∵-6＜-3,
∴动点P(a,-6)不在抛物线C₂上.
(3)
∵抛物线C₂的函数解析式为y=(x-3)²-3,
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=3.
∴当x＜3时,y随x的增大而减小.
∵点A(m,y₁),B(n,y₂)都在抛物线C₂上,且m＜n＜0＜3,
∴y₁＞y₂.

9. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,关于 $ x $ 的二次函数 $ y = x^2 + px + q $ 的图象过点 $ (-1, 0) $,$ (2, 0) $.
(1) 求这个二次函数的解析式；
(2) 当 $ -2 \leq x \leq 1 $ 时,求 $ y $ 的最大值与最小值的差；
(3) 一次函数 $ y = (2 - m)x + 2 - m $ 的图象与二次函数 $ y = x^2 + px + q $ 的图象交点的横坐标分别是 $ a $ 和 $ b $,且 $ a ＜ 3 ＜ b $,求 $ m $ 的取值范围.

答案：
(1)
∵二次函数y=x²+px+q的图象经过(-1,0)和(2,0)两点,
∴$\begin{cases}1-p+q=0, \\4+2p+q=0, \end{cases}$解得$\begin{cases}p=-1, \\q=-2. \end{cases}$
∴此二次函数的解析式为y=x²-x-2.
(2)
∵抛物线开口向上,对称轴为直线x=$\frac{-1+2}{2}=\frac{1}{2}$,
∴由图象得,在-2≤x≤1范围内,当x=-2时,函数有最大值为y=4+2-2=4;
当x=$\frac{1}{2}$时,函数有最小值为y=$\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-2=-\frac{9}{4}$.
∴y的最大值与最小值的差为4-(-$\frac{9}{4}$)=$\frac{25}{4}$.
(3)一次函数y=(2-m)x+2-m的图象与二次函数y=x²-x-2的图象交点的横坐标为a和b,令x²-x-2=(2-m)x+2-m,整理得x²+(m-3)x+m-4=0,解得x₁=-1,x₂=4-m.
∵a＜3＜b,
∴a=-1,b=4-m＞3.解得m＜1,即m的取值范围是m＜1.