《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 某商品原来每周卖出 80 件,每降价 1 元,每周可多卖出 5 件,现降价 $ x $ 元,则现在每周可卖80+5x件。

答案： 80+5x

2. 某商品原利润为 60 元,涨价 $ x $ 元后利润为x+60元。如果原来每月卖出 100 件,若每涨价 1 元,每月就少出售 5 件,涨价 $ x $ 元后每月出售该商品的利润 $ y $ 元与 $ x $ 之间的函数关系式为y=-5x²-200x+6000。

答案： x+60,y=-5x²-200x+6000

3. 生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产,现有一生产季节性产品的企业,一年中获得利润 $ y $ 与月份 $ n $ 之间的函数关系式是 $ y = -n^2 + 15n - 36 $,那么该企业一年中应停产的月份是(D)
A.1 月、2 月
B.1 月、2 月、3 月
C.3 月、12 月
D.1 月、2 月、3 月、12 月

答案： D

4. 某商店销售一种成本单价为每件 40 元的玩具,若按每件 50 元销售,一个月可售出 500 件,销售单价每涨 1 元,月销量就减少 10 件。设销售单价为每件 $ x $ 元 $ (x \geq 50) $,月销量为 $ y $ 件,月销售利润为 $ w $ 元。
(1)写出 $ y $ 与 $ x $ 的函数解析式和 $ w $ 与 $ x $ 的函数解析式；
(2)商店要在月销售总成本不超过 10 000 元的情况下,使月销售利润达到 8 000 元,销售单价应定为每件多少元？
(3)当销售单价定为每件多少元时可获得最大利润？并求出最大利润。

答案：
(1)由题意得y=500-10(x-50)=1000-10x,w=(x-40)(1000-10x)=-10x²+1400x-40000.
(2)由题意得-10x²+1400x-40000=8000,解得x₁=60,x₂=80.当x=60时,总成本为40×[500-10×(60-50)]=16000＞10000,不符合要求,舍去;当x=80时,成本为40×[500-10×(80-50)]=8000＜10000,符合要求,
∴销售单价应定为每件80元.
(3)w=-10x²+1400x-40000=-10(x-70)²+9000,
∵-10＜0,
∴当x=70时,w取最大值9000,故销售单价定为每件70元时可获得最大利润为9000元.

5. 为增强民众生活幸福感,市政府大力推进老旧小区改造工程。和谐小区新建一小型活动广场,计划在 $ 360 \, m^2 $ 的绿化带上种植甲、乙两种花卉。市场调查发现：甲种花卉种植费用 $ y $(单位：元/ $ m^2 $)与种植面积 $ x $(单位：$ m^2 $)之间的函数关系如图所示,乙种花卉种植费用为 15 元/ $ m^2 $。

(1)当 $ x \leq 100 $ 时,求 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式,并写出 $ x $ 的取值范围；
(2)当甲种花卉种植面积不少于 $ 30 \, m^2 $,且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的 3 倍时。
①如何分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用 $ w $(单位：元)最少？最少是多少元？
②受投入资金的限制,种植总费用不超过 6 000 元,请直接写出甲种花卉种植面积 $ x $ 的取值范围。

答案：
(1)y=$\begin{cases}30(0＜x≤40), \\-\dfrac{1}{4}x+40(40＜x≤100).\end{cases}$
(2)①种植甲种花卉90m²,乙种花卉270m²时,种植的总费用最少,最少为5625元;②满足条件的x的范围为30≤x≤40或60≤x≤90.