《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例 1 下列函数中,$y是x$的二次函数的是(C)
A.$y = ax^{2}+2x + 1$($a$为常数)
B.$y = x-\frac{1}{x}$
C.$y = -x^{2}+3x + 2$
D.$y = x^{2}+2xz + 3$
【思路导析】形如$y = ax^{2}+bx + c$($a,b,c$为常数,且$a\neq0$)的函数是二次函数,其右边是关于自变量$x$的二次整式,且二次项的系数不能为$0$.
【请你解答】______.

答案： C

例

2 某超市一月份的营业额为$200$万元,一月、二月、三月的营业额共$y$万元,如果平均月增长率为$x$,求总营业额$y与月增长率x$之间的函数关系式.
【思路导析】一月份营业额为$200$万元,二月份营业额为$200(1 + x)$万元,三月份营业额为$200(1 + x)^{2}$万元.
【请你解答】

答案： y=200x²+600x+600.

例 3 已知关于$x的函数y= (m - 2)\cdot x^{m^{2}-2m + 2}+(m - 1)x + 2$.
(1)$m$为何值时,$y是x$的二次函数？
(2)$m$为何值时,$y是x$的一次函数？

答案： 【探究点拨】
(1)$x的最高次数为2$,且二次项系数不为$0$；
(2)$x的指数为1或二次项系数为0$.
【规范解答】
(1)$\begin{cases}m^{2}-2m + 2 = 2,\\m - 2\neq0,\end{cases} $ $\therefore m = 0$.
当$m = 0$时,$y = -2x^{2}-x + 2$,$y是x$的二次函数.
(2)当$m - 2 = 0$,即$m = 2$时,$y = x + 2$.
当$m^{2}-2m + 2 = 1$,即$m = 1$时,$y = -x + 2$.
即当$m = 2或1$时,$y是x$的一次函数.

1. 把函数$y = x^{2}+(x + 1)^{2}$化成一般形式,并指出其二次项系数、一次项系数和常数项.

答案： y=2x²+2x+1,二次项系数为2,一次项系数为2,常数项为1.

2. 若$y= (m - 1)x^{\vert m\vert + 1}-x + 1$是二次函数,求这个函数的解析式.

答案： $\left\{\begin{array}{l} |m|+1=2,\\ m-1≠0,\end{array}\right. $解得$m=\pm 1$,且$m≠1,\therefore m=-1.$ $y=-2x² -x +1.$