《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例1 如图,等腰直角三角形OAB中,∠AOB= 90°,⊙O过斜边的中点C. 求证：直线AB是⊙O的切线.
【思路导析】证明OC⊥AB即可.
【请你解答】

答案： 连接OC，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴OC⊥AB，又
∵点C在⊙O上，OC=r，
∴AB是⊙O的切线.

例

2 如图,已知△ABC内接于⊙O,AE为⊙O的切线,求证：∠CAE= ∠ABC.
【思路导析】连接OA,并延长AO交⊙O于点D,证∠EAC= ∠ADC即可.
【请你解答】

答案： 连接AO并延长交⊙O于点D，连接DC，
∵AE是⊙O的切线，
∴AD⊥AE，即∠CAE+∠DAC=90°.又
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ADC+∠DAC=90°，
∴∠CAE=∠ADC.又
∵∠ADC=∠ABC，
∴∠CAE=∠ABC.

例

3 如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上的一点. 若∠BAC= ∠CAD,且CD⊥AD于点D,试探究CD与⊙O的位置关系.

答案：
【探究点拨】连接OC,证OC⊥CD.
【规范解答】结论：CD与⊙O相切.
连接OC.
因为OA= OC,所以∠2= ∠3,
又因为∠BAC= ∠CAD,即∠1= ∠2,
所以∠1= ∠3,所以AD//OC.
又因为AD⊥CD,
所以OC⊥CD,
所以CD与⊙O相切.

1. 如图,AB是⊙O的弦,OC⊥OA交AB于点C. 过点B的切线与OC的延长线相交于点E,求证：△BCE是等腰三角形.

答案： 连接OB，
∵∠OBC+∠CBE=90°，而∠OAC+∠ACO=90°，∠ACO=∠BCE，
∴∠OAC+∠BCE=90°，∠OAC=∠OBC，
∴∠OBC+∠CBE=∠BCE，
∴BE=CE，
∴△BCE是等腰三角形.

2. 如图,已知AB为⊙O的直径,BC是弦,过C点的切线CE与弦BD的延长线相交于点E,且CE⊥BE,求证：$\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{CD}$.

答案： 连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE.
∵CE⊥BE，
∴OC//BE，
∴∠OCB=∠CBD.又
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC=∠CBD，即∠ABC=∠CBD，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$.