《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 一元二次方程 $x^{2}+px+q= 0$.
(1)当 $p^{2}-4q＞0$ 时,一元二次方程有两个不相等实数根；
(2)当 $p^{2}-4q$＜$0$ 时,方程无实数根.

答案： 1.
(1)不相等;
(2)＜

2. 用公式法解一元二次方程,得 $y= \frac{-5\pm\sqrt{5^{2}+4×3×1}}{2×3}$,则该一元二次方程为$3y^{2}+5y-1=0$.

答案： 2.$3y^{2}+5y-1=0$

3. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1)x^{2}+2x - 1 = 0$ 有实数根,则 $k$ 的取值范围是$k≥0$且$k≠1$.

答案： 3.$k≥0$且$k≠1$

4. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2x+m = 0$ 有两个不相等的实数根,则 $m$ 的取值范围是$m＜1$.

答案： 4.$m＜1$

5. 下列关于 $x$ 的方程有实数根的是(C)
A.$x^{2}-x + 1 = 0$
B.$x^{2}+x + 1 = 0$
C.$x^{2}+x - 2 = 0$
D.$(x - 1)^{2}+1 = 0$

答案： 5.C

6. 关于 $x$ 的方程 $kx^{2}-4kx + k - 5 = 0$ 有两个相等的实数根,则 $k$ 的值为(C)
A.$0$ 或 $-\frac{5}{3}$
B.$0$
C.$-\frac{5}{3}$
D.以上答案都不对

答案： 6.C

7. 不解方程,试判断下列方程根的情况：
(1)$x^{2}-x - k^{2}= 0$； (2)$(x + 3)^{2}= 9x - 10$.

答案： 7.
(1)有两个不相等的实数根;
(2)无实数根

8. 关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + 1 = 0$.
(1)当 $b = a + 2$ 时,利用根的判别式判断方程根的情况；
(2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的 $a$,$b$ 的值,并求此时方程的根.

答案： 8.
(1)$\because a≠0,b=a+2,c=1,\therefore △=(a+2)^{2}-4a=a^{2}+4a+4-4a=a^{2}+4.$$\because a^{2}＞0,\therefore △＞0$.
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)
∵方程有两个相等的实数根,$\therefore △=b^{2}-4a=0$.若$b=2,a=1$,则方程变形为$x^{2}+2x+1=0$,解得$x_{1}=x_{2}=-1$.(答案不唯一)

9. 已知 $a$,$b$,$c$ 是三角形的三边,且关于 $x$ 的方程 $a(x^{2}-1)-2cx + b(x^{2}+1)= 0$ 有两个相等的实数根,试判别三角形的形状.

答案： 9.$a(x^{2}-1)-2cx+b(x^{2}+1)=0,$$(a+b)x^{2}-2cx+b-a=0,$依题意有$△=(-2c)^{2}-4(a+b)(b-a)=0,$$c^{2}-(b^{2}-a^{2})=0$,即$c^{2}+a^{2}=b^{2},$
∴三角形为直角三角形.

10. 已知平行四边形 $ABCD$ 的两边 $AB$,$BC$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}= 0$ 的两个实数根.
(1)求证：无论 $m$ 取何值,方程总有两个实数根；
(2)当 $m$ 为何值时,四边形 $ABCD$ 是菱形？求出这时菱形的边长；
(3)若 $AB$ 的长为 $2$,则平行四边形 $ABCD$ 的周长是多少？

答案： 10.
(1)证明:关于x的方程$x^{2}-mx+\frac {m}{2}-\frac {1}{4}=0,△=m^{2}-2m+1=(m-1)^{2}$.
∵无论m取何值,$(m-1)^{2}≥0,\therefore △≥0$,
∴无论m取何值,方程总有两个实数根.
(2)
∵四边形ABCD是菱形,$\therefore AB=BC$,即方程有两个相等的实数根,$\therefore (m-1)^{2}=0,\therefore m=1$.将$m=1$代入方程得$x^{2}-x+\frac {1}{4}=0,\therefore x_{1}=x_{2}=\frac {1}{2}$,即菱形的边长为$\frac {1}{2}$.
(3)根据题意,将$x=2$代入方程$x^{2}-mx+\frac {m}{2}-\frac {1}{4}=0$,解得$m=\frac {5}{2}$.将$m=\frac {5}{2}$代入方程$x^{2}-mx+\frac {m}{2}-\frac {1}{4}=0$,解得$x_{1}=2,x_{2}=\frac {1}{2},\therefore BC=\frac {1}{2}$,故平行四边形ABCD的周长为5.