《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例 1 用一根长 22 cm 的铁丝,恰好围成一个面积为 30 cm^2 的矩形,求矩形的长和宽。
【思路导析】 设一边长为 $x$ cm,则另一边长为 $(11 - x)$ cm,由面积为 30 cm^2 可列方程。
【请你解答】

答案： 设矩形一边长为x cm,则另一边长为(11-x)cm,依题意有x(11-x)=30,x²-11x+30=0,解得x₁=5,x₂=6.即矩形两边长分别为5 cm,6 cm.

例 2 如图(1),在宽为 20 m、长为 30 m 的矩形地块修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地,若耕地面积为$ 504 m^2,$则道路宽为多少米？

【思路导析】 利用平移,可将原图形变形,变形后的图形如右图(2)所示,然后利用耕地面积为$ 504 m^2 $列方程求解。

【请你解答】

答案： 设道路宽为x m,则有(20-x)(30-x)=504,解得x₁=2,x₂=48(舍去).答:道路宽为2 m.

例

3 如图,利用墙的一边和 13 m 的竹篱笆围成一个面积为 20 m^2 的矩形,求围成矩形的长与宽。

答案：
【探究点拨】 设一边长为 $x$ m,运用“长×宽 = 面积”列方程求解。

【规范解答】 如图,设竹篱笆围成矩形的长为 $x$ m,则宽为 $\frac{13 - x}{2}$ m。
依题意有 $x(\frac{13 - x}{2}) = 20$,
整理得 $x^2 - 13x + 40 = 0$,
解得 $x_1 = 5$,$x_2 = 8$。
当 $x = 8$ 时,宽为 $\frac{5}{2}$ m。
当 $x = 5$ 时,宽为 4 m。

如图是一张长 12 cm、宽 10 cm 的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是$ 24 cm^2 $的有盖的长方体铁盒。求剪去的正方形的边长。

答案： 设剪去的正方形的边长为x cm,则底面长为(10-2x)cm,底面宽为$\frac{12-2x}{2}=6-x$(cm).根据题意得(10-2x)(6-x)=24,整理得x²-11x+18=0,解得x₁=2,x₂=9(舍去).答:剪去的正方形的边长为2 cm.