《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 如图,四边形ABCD内接于⊙O,E为BC延长线上一点,若∠A= 70°,则∠DCE= 70°.

答案： $70^{\circ }$

2. 如图,在⊙O中,AB是直径,AC= AD,∠CAB= 70°,则∠BAD= 70°.

答案： $70^{\circ }$

3. 如图,已知⊙O的半径为2,点A,B,C在⊙O上,∠ACB= 135°,则AB= $2\sqrt{2}$.

答案： $2\sqrt {2}$

4. 如图,以□ABCD的一边为直径作⊙O,⊙O过点C,若∠AOC= 70°,那么∠BAD= (A)

A.145°
B.140°
C.135°
D.130°

答案： A

5. 如图所示,梯形ABCD中,AB//DC,AB⊥BC,AB= 2cm,CD= 4cm,以BC上一点O为圆心的圆经过A,D两点,且∠AOD= 90°,则圆心O到AD的距离OH等于(B)

A.$\sqrt{6}$ cm
B.$\sqrt{10}$ cm
C.$2\sqrt{3}$ cm
D.$2\sqrt{5}$ cm

答案： B(解析：$\because △AOB\cong △ODC,\therefore OC=AB=2,OD=\sqrt {2^{2}+4^{2}}=2\sqrt {5},OH=\frac {2\sqrt {5}}{\sqrt {2}}=\sqrt {10}.)$

6. 如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E在对角线AC上,EC= BC= DC.
(1)若∠CBD= 39°,求∠BAD的度数；
(2)求证：∠1= ∠2.

答案： （1）$\because BC=DC,\widehat {BC}=\widehat {DC},\therefore ∠BAC=∠CAD=∠CBD=39^{\circ },$$\therefore ∠BAD=∠BAC+∠CAD=39^{\circ }+39^{\circ }=78^{\circ }.$（2）证明：$\because EC=BC,\therefore ∠CEB=∠CBE.\because ∠CEB=∠2+∠BAE,∠CBE=∠1+∠CBD,$$\therefore ∠2+∠BAE=∠1+∠CBD.\because ∠BAE=∠CBD,$$\therefore ∠1=∠2.$

7.

如

图

,BC是⊙O的直径,AD⊥BC,垂足为D,$\overset{\frown}{BA} = \overset{\frown}{AF}$,BF与AD相交于点E,求证：AE= BE.

答案： 连接 CF,AC,$\because \widehat {AB}=\widehat {AF},\therefore ∠BCA=∠ACF,$$∠ACF=∠ABF$,又$∠BAD=∠BCA,\therefore ∠ABF=∠BAD$,即$BE=AE.$

8. 如图,点P是⊙O上的一个动点,AB= $\sqrt{3}$,PC是∠APB的平分线,∠BAC= 30°.
(1)当∠PAC等于多少度时,四边形PACB的面积最大,最大面积是多少？
(2)当∠PAC等于多少度时,四边形PACB是梯形？试说明理由.

答案： （1）当 PC 是圆的直径,即$∠PAC=90^{\circ }$时,四边形 PACB 面积最大.在$Rt△PAC$中,$∠APC=30^{\circ },AP=PB=AB=\sqrt {3},$$\therefore PC=2,\therefore S_{四边形PACB}=2S_{△ACP}=\frac {1}{2}PC\cdot AB=\sqrt {3}.$（2）当$∠PAC=120^{\circ }$时,四边形 PACB 是梯形.$\because PC$是$∠APB$的平分线,$\therefore ∠APC=∠BPC=∠CAB=30^{\circ },$$\therefore ∠APB=60^{\circ },\therefore ∠PAC+∠APB=180^{\circ },$$\therefore AC// PB$,且 AP 与 BC 不平行,四边形 PACB 是梯形.当$∠PAC=60^{\circ }$时,四边形 PACB 是梯形.$\because \widehat {AC}=\widehat {BC},\therefore AC=BC.$又$\because ∠BAC=30^{\circ },\therefore ∠ACB=120^{\circ },$$\because ∠PAC+∠ACB=180^{\circ },$$\therefore BC// AP$且 AC 与 PB 不平行,$\therefore$四边形 PACB 是梯形.