《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例 1 如图,作线段 $ AB $ 关于原点 $ O $ 的位似图形 $ A'B' $,使 $ A'B' = \frac{1}{2}AB $,且 $ A'B' $,$ AB $ 分别在圆点 $ O $ 的两旁,则点 $ B' $ 的坐标为(点 $ B' $ 与点 $ B $ 关于原点 $ O $ 位似对称)$\left(-\dfrac{1}{2},-1\right)$。

【思路导析】在原点的异侧 $ P(x,y) $ 的对应点 $ P' $ 坐标为 $ (-kx,-ky) $,其中 $ k $ 为相似比。
【请你解答】.

答案： $\left(-\dfrac{1}{2},-1\right)$

例 2 把 $ \triangle ABC $ 绕原点 $ O $ 旋转 $ 180^{\circ} $,再缩小,使其相似比为 $ \frac{1}{3} $,相当于 $ \triangle ABC $ 以$O$为位似中心，在$O$的异侧缩小，相似比为$\dfrac{1}{3}$。
【思路导析】画草图作分析。
【请你解答】

答案： 以$O$为位似中心，在$O$的异侧缩小，相似比为$\dfrac{1}{3}$.

例

3 如图,方格纸中的每个小方格都是边长为 1 的正方形,我们把以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”,图中的 $ \triangle ABC $ 是格点三角形。在建立平面直角坐标系后,点 $ B $ 的坐标为 $ (-1,-1) $。

(1) 把 $ \triangle ABC $ 向左平移 8 格后得到 $ \triangle A_1B_1C_1 $,画出 $ \triangle A_1B_1C_1 $ 的图形并写出点 $ B_1 $ 的坐标；
(2) 把 $ \triangle ABC $ 绕点 $ C $ 按顺时针方向旋转 $ 90^{\circ} $ 后得到 $ \triangle A_2B_2C $,画出 $ \triangle A_2B_2C $ 的图形并写出点 $ B_2 $ 的坐标；
(3) 在所给方格范围内把 $ \triangle ABC $ 以点 $ A $ 为位似中心放大,使放大前后对应边的比为 $ 1:2 $,画出 $ \triangle AB_3C_3 $ 的图形。

答案：
【探究点拨】按各自的变换规律画图。
【规范解答】
(1) 画出的 $ \triangle A_1B_1C_1 $ 的图形如图所示,点 $ B_1 $ 的坐标为 $ (-9,-1) $；
(2) 画出的 $ \triangle A_2B_2C $ 的图形如图所示,点 $ B_2 $ 的坐标为 $ (5,5) $；
(3) 画出的 $ \triangle AB_3C_3 $ 的图形如图所示。

1. 线段 $ AB $ 的端点坐标为 $ A(4,2) $,$ B(6,4) $,以原点为位似中心,将线段 $ AB $ 放大 2 倍得 $ A_1B_1 $,则 $ A_1 $ 的坐标可能是 $ (8,4) $ 或$(-8,-4)$,$ B_1 $ 的坐标可能是 $ (-12,-8) $ 或$(12,8)$。

答案： $A_{1}(-8,-4)$,$B_{1}(12,8)$

2. 如图,$ \triangle AOB $ 的三个顶点坐标为 $ O(0,0) $,$ A(4,6) $,$ B(2,0) $,在原点的同侧,以原点为位似中心。
(1) 画出 $ \triangle OAB $ 的位似图形 $ \triangle OA_1B_1 $,使相似比为 $ 2:1 $；
(2) 写出 $ A_1 $,$ B_1 $ 的坐标。

答案：
(1)图略
(2)$A_{1}(2,3)$,$B_{1}(1,0)$