《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 一个三角形的三边长为3 cm,4 cm,5 cm,另一个与它相似的三角形的一边长为2 cm,则其另外两边长分别为$\frac {8}{3}cm,\frac {10}{3}cm$,或$\frac {3}{2}cm,\frac {5}{2}cm$,或$\frac {6}{5}cm,\frac {8}{5}cm$。

答案： $\frac {8}{3}cm,\frac {10}{3}cm$,或$\frac {3}{2}cm,\frac {5}{2}cm$,或$\frac {6}{5}cm,\frac {8}{5}cm$

2. 如图,小正方形的边长均为1,则图①②③④中的四个三角形中,与△ABC相似的是②。

答案： ②

3. 把△ABC的各边都扩大为原来的4倍,得到$△A_1B_1C_1,$则下列结论不正确的是(D)
$A.△ABC∽△A_1B_1C_1$
B.△ABC和$△A_1B_1C_1$的各对应角相等
C.△ABC与△A_1B_1C_1的相似比为$\frac{1}{4}$
D.△ABC与$△A_1B_1C_1$的相似比为4

答案： D

4. 如图所示,在正方形网格上有五个三角形,其中与△ABC相似(不包括△ABC本身)的三角形有(B)

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： B

5. 如图,$\frac{AB}{AD}= \frac{BC}{DE}= \frac{AC}{AE}$,则下列结论：①△ABC∽△ADE；②AC平分∠DAE；③∠AFB = ∠AGE；④∠ABF = ∠ADE。其中正确的有(B)

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： B

6. 如图,在△ABC中,∠B = 90°,点D,E在BC上,且AB = BD = DE = EC,求证：△ADE∽△CDA。

答案： 设$AB=BD=x,\therefore AD=\sqrt {2}x,AE=\sqrt {5}x,AC=\sqrt {10}x,DC=2x,\therefore \frac {DE}{AD}=\frac {x}{\sqrt {2}x}=\frac {1}{\sqrt {2}}=\frac {\sqrt {2}}{2},\frac {AD}{CD}=\frac {\sqrt {2}x}{2x}=\frac {\sqrt {2}}{2},\frac {AE}{AC}=\frac {\sqrt {5}x}{\sqrt {10}x}=\frac {\sqrt {2}}{2},\therefore \triangle ADE\backsim \triangle CDA.$

7. 如图,在四边形ABCD中,E是对角线AC上一点,且$\frac{AB}{AC}= \frac{AE}{AD}= \frac{BE}{CD}$。
(1)若∠DAE = 22°,求∠BAD的度数；
(2)若$\frac{AB}{AE}= \frac{BC}{ED}$,判断△ADE与△ACB是否相似,并说明理由。

答案：
(1)$\because \frac {AB}{AC}=\frac {AE}{AD}=\frac {BE}{CD},\therefore \triangle ABE\backsim \triangle ACD,\therefore ∠DAE=∠BAE=22^{\circ },\therefore ∠BAD=44^{\circ }.$
(2)$\triangle ADE\backsim \triangle ACB$,理由如下:$\because \frac {AB}{AC}=\frac {AE}{AD}\therefore \frac {AB}{AE}=\frac {AC}{AD}.\because \frac {AB}{AE}=\frac {BC}{ED},\therefore \frac {AB}{AE}=\frac {BC}{ED}=\frac {AC}{AD},\therefore \triangle ADE\backsim \triangle ACB.$

8. 如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0),E(3,0),与y轴交于B(0,3)。
(1)求抛物线的解析式并写出顶点D的坐标；
(2)△AOB与△DBE是否相似？说明理由。

答案：
(1)设抛物线解析式为$y=ax^{2}+bx+c$,将$A(-1,0),E(3,0),B(0,3)$代入,得$\left\{\begin{array}{l} a-b+c=0,\\ 9a+3b+c=0,\\ c=3,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=-1,\\ b=2,\\ c=3.\end{array}\right. $抛物线的解析式为$y=-x^{2}+2x+3=-(x-1)^{2}+4.$
(2)$BE^{2}=18,BE=3\sqrt {2},BD^{2}=2,BD=\sqrt {2},DE^{2}=4^{2}+2^{2}=20,DE=2\sqrt {5}$,而$AO=1,BO=3,AB=\sqrt {10},\therefore \frac {AO}{BD}=\frac {BO}{BE}=\frac {AB}{DE}=\frac {\sqrt {2}}{2}.\therefore \triangle AOB\backsim \triangle DBE.$