《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 如图所示,已知点$D在\triangle ABC的AB$边上,$AD = 1$,$BD = 2$,$AC = \sqrt{3}$,则$\triangle ACD \backsim$△ABC.

答案： △ABC

2. 如图所示,已知$\angle DAB = \angle CAE$,则$AB:AC = AD:$AE时,$\triangle ABC \backsim \triangle ADE$.

答案： AE

3. 将三角形纸片$ABC$按如图所示的方式折叠,使点$B落在边AC上的点B'$处,折痕为$EF$. 已知$AB = AC = 3$,$BC = 4$,若以点$B'$,$F$,$C为顶点的三角形与\triangle ABC$相似,则$BF$的长是$\frac{12}{7}$或2.

答案： $\frac{12}{7}$或2

4. 如图,在直角梯形$ABCD$中,$AD // BC$,$\angle ABC = 90^{\circ}$,$AB = 8$,$AD = 3$,$BC = 4$,$P为AB$上一动点,若$\triangle PAD与\triangle PBC$是相似三角形,则满足条件的点$P$的个数是(C)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： C

5. 如图,不等长的两条对角线$AC$,$BD相交于O$点,且将四边形$ABCD$分成甲、乙、丙、丁四个三角形. 若$OA:OC = OB:OD = 1:2$,则此四个三角形的关系,下列叙述正确的是(B)

A.甲、丙相似,乙、丁相似
B.甲、丙相似,乙、丁不相似
C.甲、丙不相似,乙、丁相似
D.甲、丙不相似,乙、丁不相似

答案： B

6. 如图,等腰三角形$ABC$中,$AB = AC$,$D为CB$延长线上一点,$E是BC$延长线上一点,且$AB^{2} = DB \cdot CE$.
(1)试说明$\triangle ADB \backsim \triangle EAC$；
(2)若$\angle BAC = 40^{\circ}$,求$\angle DAE$的度数.

答案：
(1)
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,又∠1+∠ABC=∠2 +∠ACB=180°,
∴∠1=∠2①,又
∵$AB^2=DB·CE$,
∴$\frac{AB}{DB}=\frac{CE}{AB}$.
∵AB=AC,
∴$\frac{AB}{DB}=\frac{CE}{AC}$②.由①、②知△ADB∽△EAC.
(2)由
(1)△ADB∽△EAC,
∴∠DAB=∠E.
∵∠DAE=∠DAB+∠EAC+40°=∠E+∠EAC+40°=70°+40° =110°.

7. 如图,$\triangle CAB和\triangle CDE$都是直角三角形,$\angle ACB = \angle DCE = 90^{\circ}$,$CB = mCA$,$CE = mCD$,连接$AD$,$BE$,探究$AD$,$BE$的位置关系.

延长BE交AD于点N，
∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACD=∠BCE.又
∵$\frac{DC}{CE}=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{m}$,
∴△DCA∽△ECB,
∴∠DAC=∠CBE.
∵∠CAB+∠ABE+∠CBE=90°,
∴∠CAB+∠ABE+∠DAC=90°,
∴∠ANB=90°,
∴AD⊥BE.

答案： 延长BE交AD于点N，
∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACD=∠BCE.又
∵$\frac{DC}{CE}=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{m}$,
∴△DCA∽△ECB,
∴∠DAC=∠CBE.
∵∠CAB+∠ABE+∠CBE=90°,
∴∠CAB+∠ABE+∠DAC=90°,
∴∠ANB=90°,
∴AD⊥BE.

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 8\ cm$,$BC = 16\ cm$,点$P从A开始沿AB边向点B以2\ cm/s$的速度运动,点$Q从点B开始沿BC边向点C以4\ cm/s$的速度运动. 如果$P$,$Q分别从A$,$B$同时出发,那么经过多长时间,以$P$,$Q$,$B为顶点的三角形与\triangle ABC$相似？

答案： 设xs后，以P、Q、B为顶点的三角形与△ABC相似，则AP=2xcm,BQ=4xcm,则BP=(8 - 2x)cm.分两种情况：
(1)当△PBQ∽△ABC时,如图①所示,则$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$,即$\frac{8 - 2x}{8}=\frac{4x}{16}$,解得x=2.
(2)当△PBQ∽△CBA时,如图②所示,则$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$,即$\frac{8 - 2x}{16}=\frac{4x}{8}$,解得x=0.8.综合
(1)
(2)知,当经过2s或0.8s时,以P、Q、B为顶点的三角形与△ABC 相似.