《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 如图所示,若∠1 = ∠2 = ∠B,则有△ACD∽△ADE；△CDE∽△BCD；△AED∽△ACB。

答案： ADE、BCD、ACB

2. 如图,△ABC中,∠A = 36°,AB = AC,BD平分∠ABC,则△ABC∽△BDC。

答案： △BDC

3. 如图,△ABC中,∠A = 78°,AB = 4,AC = 6。将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)

答案： C

4. 如图所示,已知AB = AC,∠A = 36°,AB的中垂线MD交AC于点D,交AB于点M,下列结论：①BD为∠ABC的平分线；②△BCD为等腰三角形；③△ABC∽△BCD；④△AMD∽△BCD,正确的个数为(B)

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

答案： B

5. 如图所示,在四边形ABCD中,AB⊥AC于点A,BD⊥CD于点D,AC与BD交于O点,求证：△AOD∽△BOC。

答案： 在△ABO与△CDO中,
∵BA⊥AC,BD⊥DC,
∴∠BAC=∠BDC=90°,∠AOB=∠COD,
∴△ABO∽△DCO.即$\frac{AO}{OD}=\frac{OB}{OC}$.又
∵∠AOD=∠COB,
∴△AOD∽△BOC.

6. 如图,在△ABC中,AB = AC,点E在边BC上移动(点E不与点B,C重合),满足∠DEF = ∠B,且点D,F分别在边AB,AC上。
(1)求证：△BDE∽△CEF；
(2)当点E移动到BC的中点时,求证：FE平分∠DFC。

答案：
(1)
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠BDE=180°-∠B-∠DEB,∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB,∠DEF=∠B,
∴∠BDE=∠CEF,
∴△BDE∽△CEF.
(2)
∵△BDE∽△CEF,
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{DE}{EF}$.
∵点E是BC的中点,
∴BE=CE,
∴$\frac{CE}{CF}=\frac{DE}{EF}$.
∵∠DEF=∠B=∠C,
∴△DEF∽△ECF,
∴∠DFE=∠CFE,
∴FE平分∠DFC.

7. 如图,在⊙O中,AB = AC,若AC = 12,AE = 8,求AD的长。

答案： ∠ABC=∠ACB=∠D,由$\left\{\begin{array}{l}∠ABE=∠D,\\∠BAE=∠DAB\end{array}\right.$得△ABE∽△ABD.
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{AD}$,$\frac{8}{12}=\frac{12}{AD}$,AD=18.

8. 如图,已知△ABC中,AB = AC,AD是中线,P为AD上一点,过C作CF//AB,延长BP交AC于E,交CF于F,求证：$PB^{2}= PE\cdot PF$。

答案： 连PC.
∵AB=AC,BD=DC,
∴PC=PB,∠ABP=∠PCE=∠F.在△PCE和△PCF中,∠CPE=∠CPF,∠PCE=∠F,
∴△PEC∽△PCF,$PC^{2}=PE\cdot PF$,
∴$PB^{2}=PE\cdot PF$.