《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 为了测量一个圆形铁环的半径,用一个锐角为 30°的三角板和一把刻度尺如图放置,测得 PA = 10 cm,则铁环的半径 OP 为10√3cm.

答案： 10√3

2. 如图,⊙O 内切于四边形 ABCD,若四边形的周长为 24 cm,则 AD + BC = 12 cm.

答案： 12

3. 如图,⊙O 与△ABC 的边 BC,AC,AB 分别切于点 E,F,D,若⊙O 的半径为$\sqrt{3}$,∠C = 60°,AB = 10,则△ABC 的周长为26.

答案： 26

4. 如图,点 O 为△ABC 的内切圆的圆心,若∠A = 80°,则∠BOC = (A)

A.130°
B.100°
C.50°
D.160°

答案： A

5. 如图,正三角形 ABC 的边长为 4,那么正三角形内切圆的半径为(D)

A.2
B.2$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

答案： D

6. 如图,PA、PB 是⊙O 的切线,CD 切⊙O 于点 E,若 PA = 4,求△PCD 的周长.
解：因为 CD 是⊙O 的切线,PA、PB 也是⊙O 的切线,所以 CE = AC,DE = BD. △PCD 的周长为 PC + PD + CD = PC + PD + AC + BD = (PC + AC) + (PD + BD) = 2×PA. 又因为 PA = 4,所以△PCD 的周长为8.

答案： BD，PD+BD，PA，8

7. 如图所示,AB 是⊙O 的直径,AD 和 BC 分别切⊙O 于 A,B 两点,CD 与⊙O 有公共点 E,且 AD = DE.
(1)求证：CD 是⊙O 的切线；
(2)若 AB = 12,BC = 4,求 AD 的长.

答案：
(1)连接OD，OE.
∵AD切⊙O于A点，AB是⊙O的直径，
∴∠DAB=90°.
∵AD=DE，OA=OE，OD=OD，
∴△ADO≌△EDO(SSS).
∴∠OED=∠OAD=90°，
∴CD是⊙O的切线.
(2)过C作CH⊥AD于H.
∵AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，
∴∠DAB=∠ABC=∠CHA=90°.
∴四边形ABCH是矩形.
∴CH=AB=12，AH=BC=4.
∵CD是⊙O的切线，
∴AD=DE，CE=BC.
∴DH=AD-BC=AD-4，CD=AD+4.
∵CH²+DH²=CD²，
∴12²+(AD-4)²=(AD+4)².
∴AD=9.

8. 如图,已知△ABC 中,AC = BC = 6,∠C = 90°,O 是 AB 的中点,⊙O 与 AC,BC 分别相切于点 D 与点 E,F 是⊙O 与 AB 的一个交点,连 DF 并延长交 CB 的延长线于点 G.
(1)求证：E 是 BC 的中点；
(2)求证：BF = BG；
(3)求 CG 的长.

答案：

(1)证明:连结OE,如图,

∵BC为⊙O的切线,

∴OE⊥BC,

∴∠OEB = 90°,

∵∠C = 90°,

∴OE//AC,

而O是AB的中点,

∴OE为△ABC的中位线,

∴点E是BC的中点;

(2)证明:连结OD,如图,

∵AC为⊙O的切线,

∴OE⊥BC,

∴∠OEB = 90°,

∴OD//BC,

∴∠ODG = ∠G,

∵OD = OF,

∴∠ODF = ∠OFD,

而∠OFD = ∠BFG,

∴∠BFG = ∠G,

∴BF = BG;

(3)解：
∵点E是BC的中点，

∴$BE=\frac{1}{2}BC=3$，

∵$AC=BC=6$，$\angle C=90^{\circ}$，

∴$\angle ABC=45^{\circ}$，

∴$OE=BE=3$，

∴$OB=\sqrt{2}OE=3\sqrt{2}$，

∴$BF=OB - OF=3\sqrt{2}-3$，

∵$OG=3\sqrt{2}-3$，

∴$CG=BC + BG=6 + 3\sqrt{2}-3=3 + 3\sqrt{2}$。