《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例1 如图,D,E分别是BA,CA延长线上的点,若DE//BC,则△ABC与△ADE相似(填“相似”或“不相似”).

【思路导析】依定理解答.
【请你解答】____.

答案： 相似

例2 如图所示,△ABC中,DE//BC,BC= 12 cm,且AD：AB= 2：3,求DE的长.

【思路导析】由DE//BC,得△ADE∽△ABC,对应边成比例,列比例式求解.
【请你解答】

答案：
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC．
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，$\frac{2}{3}=\frac{DE}{12}$，DE=8．

例3 如图,已知菱形ABCD的边长为3,延长AB到点E,使BE= 2AB,连接EC并延长交AD的延长线于点F,求AF的长.

答案：
【探究点拨】由菱形的性质得BC//AF,故△EBC∽△EAF,列比例式求解.

【规范解答】
∵四边形ABCD为菱形,
∴BC//AD,即BC//AF, (菱形的性质)
∴△EBC∽△EAF. (预备定理)
∴$\frac{AF}{BC}= \frac{AE}{BE}$. (相似三角形的性质)
∵BC= CD= DA= AB= 3,BE= 2AB= 6,
∴$AF= \frac{BC×AE}{BE}= \frac{3×(3+6)}{6}= 4.5$.

1. 如图,D,E分别是BA,CA的延长线上的点,连DE,若∠B= ∠D,$AD= \frac{1}{2}AB$,BC= 10 cm,求DE的长.

答案：
∵∠B=∠D，
∴BC//DE，
∴△ABC∽△ADE，$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{ED}$，$\frac{AB}{\frac{1}{2}AB}=\frac{10}{ED}$．
∴ED=5．

2. □ABCD中,E为AD的延长线上的点. 求证：
(1)△AEB∽△CBF；
(2)AB·BC= AE·FC.

答案：
(1)
∵AB//CD，
∴△DEF∽△AEB．
∵AD//BC，
∴△DEF∽△CBF．
∴△AEB∽△CBF．
(2)
∵△DEF∽△AEB，
∴$\frac{DF}{AB}=\frac{DE}{AE}$，即$\frac{AB}{AE}=\frac{DF}{DE}$．
∵△DEF∽△CBF，
∴$\frac{DF}{CF}=\frac{DE}{BC}$．
∵$\frac{DF}{DE}=\frac{CF}{BC}$，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{CF}{BC}$．
∴AB·BC=AE·CF．