《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. (1)方程 $ 2 x ^ { 2 } - x = 3 $ 化为一般形式为$2x^{2}-x-3=0$；
(2)若代数式 $ 2 x ^ { 2 } + 1 $ 与 $ 4 x ^ { 2 } - 2 x - 5 $ 的值互为相反数,则 $ x = $1或$-\frac{2}{3}$.

答案： 1.
(1)$2x^{2}-x-3=0$;
(2)1或$-\frac{2}{3}$

2. 方程 $ x ^ { 2 } + x - 1 = 0 $ 的根是(B)
A.$ \frac { 1 \pm \sqrt { 5 } } { 2 } $
B.$ \frac { - 1 \pm \sqrt { 5 } } { 2 } $
C.$ \frac { \sqrt { 5 } \pm 1 } { 2 } $
D.$ \frac { - \sqrt { 5 } \pm 1 } { 2 } $

答案： B

3. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - ( k + 1 ) x + 2 k - 2 = 0 $ 有一根不大于 $ 1 $,则 $ k $ 的取值范围为(C)
A.$ k \geq 2 $
B.$ k \leq 1 $
C.$ k \leq 2 $
D.$ k \leq 0 $

答案： C

4. 已知 $ \alpha $ 是一元二次方程 $ x ^ { 2 } - x - 1 = 0 $ 较大的根,则对 $ \alpha $ 的估计正确的是(C)
A.$ 0 ＜ \alpha ＜ 1 $
B.$ 1 ＜ \alpha ＜ 1.5 $
C.$ 1.5 ＜ \alpha ＜ 2 $
D.$ 2 ＜ \alpha ＜ 3 $

答案： C

5. 若 $ x = - 2 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 2 x ^ { 2 } - 5 a x + 2 a ^ { 2 } = 0 $ 的一个根,则 $ a $ 的值为(B)
A.$ 1 $ 或 $ 4 $
B.$ - 1 $ 或 $ - 4 $
C.$ - 1 $ 或 $ 4 $
D.$ 1 $ 或 $ - 4 $

答案： B

6. 用公式法解下列方程：
(1)$ y ^ { 2 } - 2 y - 2 = 0 $；
(2)$ 3 x ^ { 2 } - 2 x = 4 $；
(3)$ x ^ { 2 } + 5 = 2 ( x + 1 ) $；
(4)$ 5 x ^ { 2 } - 2 \sqrt { 5 } x + 1 = 0 $.

答案： 6.
(1)$y_{1}=1+\sqrt{3},y_{2}=1-\sqrt{3}$;
(2)$x_{1}=\frac{1+\sqrt{13}}{3},x_{2}=\frac{1-\sqrt{13}}{3}$;
(3)方程无实数根;
(4)$x_{1}=x_{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

7. 已知 $ x ^ { 2 } - 8 x + 16 - m ^ { 2 } = 0 ( m \neq 0 ) $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程.
(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若等腰三角形 $ A B C $ 的一边长 $ a = 6 $,另两边长 $ b $,$ c $ 是该方程的两个实数根,求 $ \triangle A B C $ 的面积.

答案： 7.
(1)$\Delta=(-8)^{2}-4×(16-m^{2})=4m^{2}$.$\because m\neq0$,$\therefore m^{2}＞0$.$\therefore\Delta＞0$.$\therefore$此方程总有两个不相等的实数根.
(2)$\because$等腰三角形$ABC$的两边长$b,c$是该方程的两个根,且由
(1)知该方程总有两个不相等的实数根,$\therefore b\neq c$,且等腰三角形$ABC$的腰长为6,即6是该方程的一个根.将$x=6$代入原方程,得$6^{2}-8×6+16-m^{2}=0$,即$m^{2}=4$.$\therefore$原方程为$x^{2}-8x+16-4=0$.解得$x_{1}=6$,$x_{2}=2$.即$\triangle ABC$的底边长为2,则底边上的高为$\sqrt{6^{2}-1^{2}}=\sqrt{35}$.$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{35}=\sqrt{35}$.

8. 参加一次聚会.
(1)如果有 $ 4 $ 人,每两人之间握一次手,共握了6次手；
(2)如果有 $ x $ 人,每两人之间都握一次手,共握了 $ 21 $ 次手,请列出方程,并求其解.
$\frac{x(x-1)}{2}=21$,$x^{2}-x-42=0$,解得$x_{1}=7$,$x_{2}=-6$(舍去).

答案： 8.
(1)6;
(2)$\frac{x(x-1)}{2}=21$,$x^{2}-x-42=0$,解得$x_{1}=7$,$x_{2}=-6$(舍去).