《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 一座拱桥的轮廓是抛物线形,如图所示,拱高为 $ 5m $,跨度长 $ 20m $,相邻两支柱间的距离均为 $ 5m $。若支柱 $ MN $ 的高度为 $ 3.25m $,则桥高为7 $ m $。

答案： 7

2. 如图所示,小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意的成绩,函数 $ h = 3.5t - 4.9t^2 $ 可以描述他跳跃时重心高度 $ h $(单位：$ m $)随时间 $ t $(单位：$ s $)的变化关系,由此可知他起跳后重心到达最高时所用的时间 $ t $ 约为(D)

A.$ 0.71s $
B.$ 0.70s $
C.$ 0.63s $
D.$ 0.36s $

答案： D

3. 从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度 $ h $(单位：$ m $)与小球运动时间 $ t $(单位：$ s $)之间的函数关系如图所示。下列结论：
① 小球在空中经过的路程是 $ 40m $；
② 小球抛出 $ 3s $ 后,速度越来越快；
③ 小球抛出 $ 3s $ 时速度为 $ 0 $；
④ 小球的高度 $ h = 30m $ 时,$ t = 1.5s $。
其中正确的是(D)

A.①④
B.①②
C.②③④
D.②③

答案： D

4. 如图所示,有一抛物线形拱桥,当水位线在 $ AB $ 位置时,拱桥离水面 $ 2m $,水面宽 $ 4m $,求水面下降 $ 1m $ 后,水面的宽。

答案： 以AB所在直线为x轴，以AB的中点为原点建立直角坐标系如图,设解析式为y =ax²+k,把B(2,0),k=2代入式中,0=4a+2,得a=−$\frac{1}{2}$.
∴y=−$\frac{1}{2}$x²+2.
当水面下降1m后,−1=−$\frac{1}{2}$x²+2,解得x=±$\sqrt{6}$
∴水面宽为2$\sqrt{6}$m.

5. 如图,水池中心点 $ O $ 处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点 $ O $ 在同一水平面。安装师傅调试发现,喷头高 $ 2.5m $ 时,水柱落点距 $ O $ 点 $ 2.5m $；喷头高 $ 4m $ 时,水柱落点距 $ O $ 点 $ 3m $。试求水柱落点距 $ O $ 点 $ 4m $ 时的喷头高度。

答案： 由题意得，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化.当喷头高2.5m时,可设y=ax²+bx+2.5,将(2.5,0)代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5=0①;喷头高4m时,可设y=ax²+bx+4,将(3,0)代入解析式得9a+3b+4=0②.
联立①②得$\begin{cases}6.25a+2.5b+2.5=0\\9a+3b+4=0\end{cases}$,解得$\begin{cases}a=-\frac{2}{3}\\b=\frac{2}{3}\end{cases}$,设水柱落点距O点4m时的喷头高度为h m,
∴水柱落点距O点4m时的解析式为y=−$\frac{2}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+h,把点(4,0)代入得−$\frac{2}{3}$×4²+$\frac{2}{3}$×4+h=0,解得h=8,即水柱落点距O点4m时的喷头高度为8m.

6. 如图所示,一场篮球赛中,球员甲跳起来投篮,已知球出手时离地面 $ \frac{20}{9}m $,与篮筐中心的水平距离为 $ 7m $,当球运行的水平距离为 $ 4m $ 时,达到最大高度 $ 4m $,设篮球运行的路线为抛物线,篮筐距地面 $ 3m $。试问：
(1) 此球能否投进？
(2) 此时对方球员乙前来盖帽,已知乙手能伸到的最高点为 $ 3.19m $,那么他如何做才能盖帽成功？

答案：
(1)以地面为x轴，以球员甲的身体所在直线为y轴，建立坐标系.设解析式为y=a(x−4)²+4,把(0,$\frac{20}{9}$)代入式中,得a=−$\frac{1}{9}$,y=−$\frac{1}{9}$(x−4)²+4,当x=7 时,y=3,所以能投中.
(2)当y=3.19时,3.19=−$\frac{1}{9}$(x−4)²+4,解得x₁=6.7(舍去),x₂=1.3.因此对方球员在距甲1.3m处起跳便可盖帽成功.