《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例 1 关于一元二次方程 $ax^{2}+bx+c= 0(a\neq0)$ 根的情况,下列说法不正确的是(D)
A.当 $b^{2}-4ac= 0$ 时,方程 $ax^{2}+bx+c= 0(a\neq0)$ 有实数根,$x_{1}= x_{2}= -\frac{b}{2a}$
B.当 $b^{2}-4ac＜0$ 时,方程 $ax^{2}+bx+c= 0(a\neq0)$ 没有实数根
C.当 $b^{2}-4ac＞0$ 时,方程 $ax^{2}+bx+c= 0(a\neq0)$ 有两个不相等的实数根
D.当 $b^{2}-4ac\geq0$ 时,方程 $ax^{2}+bx+c= 0(a\neq0)$ 有两个不相等的实数根
【思路导析】运用 $b^{2}-4ac＞0$,$b^{2}-4ac= 0$,$b^{2}-4ac＜0$,分类讨论方程 $ax^{2}+bx+c= 0(a\neq0)$ 根的情况.
【请你解答】______.

答案： D

例 2 不解方程,判断下列方程根的情况：
(1)$x^{2}-x-3= 0$； (2)$(2x - 4)x = 5 - 6x$.
【思路导析】先把方程化为一般形式,再根据 $b^{2}-4ac$ 的值的正负来判断方程根的情况.
【请你解答】

答案：
(1)方程有两个不相等实数根;
(2)方程有两个不相等实数根

例 3 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(1 - 2k)x^{2}-2\sqrt{k}x - 1 = 0$ 有实数根,求 $k$ 的取值范围.

答案： 【探究点拨】因为方程有实数根,所以必须满足：
(1)$1 - 2k\neq0$；
(2)$b^{2}-4ac\geq0$. 同时要注意,二次根式的被开方数是非负数,即 $k\geq0$.
【规范解答】$\because (1 - 2k)x^{2}-2\sqrt{k}x - 1 = 0$ 有实数根,
$\therefore b^{2}-4ac = (-2\sqrt{k})^{2}-4×(1 - 2k)×(-1)$
$= 4k + 4 - 8k$
$= -4k + 4\geq0$.
解得 $k\leq1$.
又 $\because 1 - 2k\neq0$,且 $k\geq0$,
$\therefore 0\leq k\leq1$ 且 $k\neq\frac{1}{2}$.

1. 用公式法解下列方程：
(1)$2x^{2}-3x - 2 = 0$； (2)$6x^{2}-13x - 5 = 0$.

答案： 1.
(1)$x_{1}=-\frac {1}{2},x_{2}=2$;
(2)$x_{1}=\frac {5}{2},x_{2}=-\frac {1}{3}$

2. $m$ 为何值时,一元二次方程 $2x^{2}-(4m + 1)x+2m^{2}-1 = 0$,
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根？

答案： 2.
(1)$m＞-\frac {9}{8}$;
(2)$m=-\frac {9}{8}$;
(3)$m＜-\frac {9}{8}$