《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例 1 若△ABC∽△A′B′C′,且 AB : A′B′ = √2 : 1,则△ABC 与△A′B′C′的相似比为$\sqrt{2}:1$.
【思路导析】由相似比的定义求解.
【请你解答】$\sqrt{2}:1$.

答案： $\sqrt{2}:1$

例 2 如图 AD//BE//CF,则下列比例式中正确的个数有(B)
① AB/DE = BC/EF；② AB/AC = DE/DF；
③ AB/AC = DF/DE；④ AB/EF = DE/BC.

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
【思路导析】抓住“对应线段”成比例分析.
【请你解答】B(解析:①②正确.).

答案： B(解析:①②正确.)

例 3 如图,DE//BC,若 AD/AB = 1/3,那么 AE/AC = $\frac{1}{3}$.

【思路导析】AE 与 AD,AC 与 AB 是对应线段.
【请你解答】$\frac{1}{3}$.

答案： $\frac{1}{3}$

例 4 如图,已知 ED//BC,且 AB = 5,AC = 7,AD = 2.求 AE 的长.

答案：
【探究点拨】图形条件符合平行线分线段成比例定理的推论.
【规范解答】
∵ ED//BC,
∴ AB/AD = AC/AE,
∴ AE = (AD·AC)/AB = (2×7)/5 = 14/5.

1. 如图,在△ABC 中,DE//BC,EF//AB,下列式子不正确的是(D)

A.AB/AD = AC/AE
B.CF/DE = CE/AE
C.EF/AD = CE/AE
D.DE/BD = AE/EC

答案： D

2. 如图,AD 是△ABC 的中线,E 是线段 AD 上的一点,且 AD = 3AE,连接 CE 并延长交 AB 于点 F.
(1)求 AE/DE 的值；
(2)若 AF = 2 cm,求 AB 的长.

答案：  （1）
已知$AD = 3AE$，且$AD=AE + DE$。
则$3AE=AE + DE$，移项可得$DE = 3AE−AE=2AE$。
所以$\frac{AE}{DE}=\frac{AE}{2AE}=\frac{1}{2}$。
（2）
过点$D$作$DG// CF$交$AB$于点$G$。
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，$DG// CF$，根据平行线分线段成比例定理，在$\triangle BCF$中，$BD = DC$，所以$BG = GF$。
又因为$DG// EF$，在$\triangle ADG$中，$\frac{AE}{DE}=\frac{1}{2}$，根据平行线分线段成比例定理$\frac{AF}{FG}=\frac{AE}{DE}=\frac{1}{2}$。
设$AF = x$，$FG = 2x$，已知$AF = 2cm$，即$x = 2cm$，则$FG = 4cm$。
因为$BG = GF$，所以$BG = 4cm$。
那么$AB=AF + FG+BG$。
把$AF = 2cm$，$FG = 4cm$，$BG = 4cm$代入可得$AB=2 + 4+4=10cm$。
综上，（1）$\frac{AE}{DE}$的值为$\frac{1}{2}$；（2）$AB$的长为$10cm$。