《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例

1 填空：
(1)$x^{2}-4x+\underline{\quad\quad}=(x-\underline{\quad\quad})^{2}$；
(2)用配方法解方程$x^{2}-4x+2= 0$,则$x^{2}-4x+2= 0可变形为(x - 2)^{2}= \underline{\quad\quad}$。
【思路导析】运用完全平方公式$a^{2}\pm2ab + b^{2}= (a\pm b)^{2}$进行对照填写。
【请你解答】(1)4，2；(2)2。

答案：
(1)4,2;
(2)2

例

2 用配方法解下列方程：
(1)$x^{2}-4x + 3 = 0$； (2)$x^{2}+3x = 1$。
【思路导析】将方程左边配成完全平方式,再直接开平方。
【请你解答】

答案：
(1)$x_{1}=3,x_{2}=1;$
(2)$x^{2}+3x+(\frac {3}{2})^{2}=1+(\frac {3}{2})^{2},(x+\frac {3}{2})^{2}=\frac {13}{4},\therefore x_{1}=-\frac {3}{2}+\frac {\sqrt {13}}{2},x_{2}=-\frac {3}{2}-\frac {\sqrt {13}}{2}.$

例 3 用配方法解下列方程：
(1)$3x^{2}-6x - 2 = 0$； (2)$2x^{2}-\sqrt{2}x - 1 = 0$。
【思路导析】将方程的两边同时除以二次项的系数,将二次项的系数化为 1,再配方。
【请你解答】

答案：
(1)$x^{2}-2x=\frac {2}{3},x^{2}-2x+1=\frac {5}{3},(x-1)^{2}=\frac {5}{3},x_{1}=1+\frac {\sqrt {15}}{3},x_{2}=1-\frac {\sqrt {15}}{3};$
(2)$x^{2}-\frac {\sqrt {2}}{2}x=\frac {1}{2},x^{2}-\frac {\sqrt {2}}{2}x+(\frac {\sqrt {2}}{4})^{2}=\frac {5}{8},(x-\frac {\sqrt {2}}{4})^{2}=\frac {5}{8},x_{1}=\frac {\sqrt {2}+\sqrt {10}}{4},x_{2}=\frac {\sqrt {2}-\sqrt {10}}{4}.$

例 4 当$x$,$y$分别为何值时,代数式$x^{2}+2xy + 2y^{2}-4y + 6$有最小值？请求出最小值。

答案： 【探究点拨】运用配方法把原式化成$(x + y)^{2}+(y - a)^{2}+m$的形式。
【规范解答】$x^{2}+2xy + 2y^{2}-4y + 6$
$=x^{2}+2xy + y^{2}+y^{2}-4y + 4 + 2$
$=(x + y)^{2}+(y - 2)^{2}+2$。
所以当$x + y = 0$,且$y - 2 = 0$时,原式有最小值 2,即当$x = - 2$,$y = 2$时,$x^{2}+2xy + 2y^{2}-4y + 6$有最小值,最小值为 2。

1. 用配方法解下列方程：
(1)$3x^{2}-6x = 8$；
(2)$2x^{2}+4x - 6 = 0$。

答案： $(1)$ 用配方法解方程$3x^{2}-6x = 8$
解：
方程两边同时除以$3$得：$x^{2}-2x=\frac{8}{3}$。
配方，在等式两边加上一次项系数一半的平方（$(\frac{-2}{2})^2 = 1$）得：
$x^{2}-2x + 1=\frac{8}{3}+1$，
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，则$(x - 1)^{2}=\frac{8 + 3}{3}=\frac{11}{3}$。
两边开平方得：$x-1=\pm\sqrt{\frac{11}{3}}=\pm\frac{\sqrt{33}}{3}$。
移项得：$x = 1\pm\frac{\sqrt{33}}{3}$。
即$x_{1}=1+\frac{\sqrt{33}}{3}$，$x_{2}=1-\frac{\sqrt{33}}{3}$。
$(2)$ 用配方法解方程$2x^{2}+4x - 6 = 0$
解：
方程两边同时除以$2$得：$x^{2}+2x-3 = 0$，
移项得：$x^{2}+2x = 3$。
配方，在等式两边加上一次项系数一半的平方（$(\frac{2}{2})^2 = 1$）得：
$x^{2}+2x + 1=3 + 1$，
根据完全平方公式$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$，则$(x + 1)^{2}=4$。
两边开平方得：$x + 1=\pm2$。
当$x + 1 = 2$时，$x=2 - 1=1$；
当$x + 1=-2$时，$x=-2 - 1=-3$。
所以$x_{1}=1$，$x_{2}=-3$。
综上，$(1)$ $x_{1}=1+\boldsymbol{\frac{\sqrt{33}}{3}}$，$x_{2}=1-\boldsymbol{\frac{\sqrt{33}}{3}}$；$(2)$ $x_{1}=\boldsymbol{1}$，$x_{2}=\boldsymbol{-3}$。

2. $\triangle ABC的三边长分别为a$,$b$,$c$,且满足$b + c = 8$,$bc = a^{2}-12a + 52$。试问$\triangle ABC$是什么三角形？完成下列填空：
解：$\because b + c = 8$,$\therefore c = 8 - b$。
将$c = 8 - b代入bc = a^{2}-12a + 52$,得
$b(8 - b)= a^{2}-12a + 52$。
配方得$(b - \underline{4})^{2}+(a - \underline{6})^{2}= 0$。
所以$a = \underline{6}$,$b = \underline{4}$,故$c = \underline{4}$。
所以$\triangle ABC为\underline{等腰}$三角形。

答案： 4,6,6,4,等腰