《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

14. 为了弘扬祖国的优秀传统文化,某校组织了一次“诗词大会”,小明和小丽同时参加,其中,有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗,其答案为“山重水复疑无路”.
(1)小明回答该问题时,对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择.若随机选择其中一个,求小明回答正确的概率；
(2)小丽回答该问题时,对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择.若分别随机选择,请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率.

答案： （1）$\frac{1}{2}$；（2）由树状图可知共有4种等可能结果，其中正确的有1种，所以小丽回答正确的概率$P=\frac{1}{4}$.

15. 有 4 张看上去无差别的卡片,上面分别写有数字 $-1$,2,5,8.
(1)随机抽取一张卡片,求抽取到的数是偶数的概率；
(2)随机抽取一张卡片后,放回并混在一起,再随机抽取一张,请用画树状图或列表法,求抽取出的两数之差的绝对值大于 3 的概率.

答案：
（1）$\frac{1}{2}$；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下:

共有16种等可能出现的结果，其中“两数差的绝对值大于3”的有6种，$P$(差的绝对值大于3)$=\frac{3}{8}$.

16. 如图,有四张背面相同的纸牌 A,B,C,D,其正面分别画有正三角形、圆、平行四边形和正五边形.小明将这四张纸牌背面朝上洗匀后随机摸出一张,求摸出的图形是中心对称图形的概率.

答案： $\frac{1}{2}$

17. 有四张正面分别标有数字 $-3$,0,1,5 的透明卡片,它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上,洗匀后从中任取一张,将该卡片上的数字记为 $a$,则使关于 $x$ 的分式方程 $\frac{1 - ax}{x - 2} + 2 = \frac{1}{2 - x}$ 有正整数解的概率为多少？

答案： $\frac{1 - ax}{x - 2}+2=\frac{1}{2 - x}$，去分母，得$1 - ax + 2(x - 2)= - 1$，$2x - ax = - 1 + 4 - 1$，$x=\frac{2}{2 - a}$.当$a = - 3$时，$x=\frac{2}{5}$，当$a = 0$时，$x = 1$，$a = 1$时，$x = 2$，是增根舍去，$a = 5$时，$x = -\frac{2}{3}$，$P(x$为正整数概率)$=\frac{1}{4}$.

18. 小明正在参加全国“数学竞赛”,只要他再答对最后两道单选题就能顺利过关,其中第一道题有 3 个选项,第二道题有 4 个选项,而这两道题小明都不会,不过小明还有一次“求助”没有使用(使用“求助”可让主持人去掉其中一题的一个错误选项).
(1)如果小明第一题不使用“求助”,随机选择一个选项,那么小明答对第一道题的概率是多少？
(2)如果小明将“求助”留在第二题使用,请用画树状图或列表法求小明能顺利过关的概率；
(3)请你从概率的角度分析,建议小明在第几题使用“求助”,才能使他过关的概率较大.

答案：
（1）$\because$第一道单选题有3个选项，$\therefore$如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是$\frac{1}{3}$.（2）分别用$A,B,C$表示第一道单选题的3个选项，$a,b,c$表示第二道单选题剩下的3个选项，画树状图如右.$\because$共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，$\therefore$小明顺利通关的概率为$\frac{1}{9}$.（3）如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为$\frac{1}{8}$；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为$\frac{1}{9}$，$\therefore$建议小明在第一题使用“求助”.