《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例 1 把下列二次函数写成 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的形式.
(1) $ y = x^2 - 4x + 6 $； (2) $ y = -2x^2 + 8x - 10 $.
【思路导析】用配方法把等式右边进行配方,写成 $ a(x - h)^2 + k $ 的形式.
【请你解答】

答案：
(1)y=(x-2)²+2;
(2)y=-2(x-2)²-2

例 2 求抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 3 $ 的顶点坐标及对称轴,并指出其开口方向. 当 $ x $ 为何值时,$ y $ 随 $ x $ 增大而增大？
【思路导析】顶点坐标为 $ \left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right) $,对称轴为直线 $ x = -\frac{b}{2a} $.
【请你解答】

答案： y= $\frac{1}{2}$x²-4x+3,
$-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2× \frac{1}{2}}=4$,
$\frac{4ac-b²}{4a}=\frac{4× \frac{1}{2}× 3-(-4)²}{4× \frac{1}{2}}=-5$,
顶点坐标为(4,-5),对称轴为x=4.
开口向上,当x＞4时,y随x增大而增大.

例 3 在平面直角坐标系中,画出二次函数 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - \frac{5}{2} $ 的图象,并根据图象回答下列问题：
(1) $ x $ 为何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？ $ x $ 为何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？
(2) 函数值 $ y $ 有最大值还是最小值,最大(小)值是多少？

答案：
【探究点拨】先求出顶点坐标和对称轴,再根据对称性列表,结合函数图象回答问题.
【规范解答】把 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - \frac{5}{2} $ 配方得
$ y = -\frac{1}{2}(x - 3)^2 + 2 $.
∴抛物线的顶点坐标是 $ (3, 2) $,对称轴是直线 $ x = 3 $.
列表：

描点连线得：

(1) 从图象可以看出,$ x ＜ 3 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 增大而增大；$ x ＞ 3 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 增大而减小.
(2) 函数有最大值,当 $ x = 3 $ 时,函数 $ y $ 取得最大值,最大值为 $ 2 $.

1. 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 经过点 $ A(-2, 7) $,$ B(6, 7) $,则该抛物线的对称轴是直线 $ x = $ 2.

答案： 2

2. 如图是抛物线 $ y = x^2 - 6x + 5 $ 的部分图象,则抛物线的对称轴为直线 $ x = $ 3. 已知该抛物线与 $ x $ 轴的一个交点的坐标为 $ (1, 0) $,则它与 $ x $ 轴的另一个交点的坐标为 (5,0).

答案： 3，(5,0)

3. 抛物线 $ y = x^2 - 4x + 5 $ 向 上 平移 4 个单位长度,得到抛物线 $ y = x^2 - 4x + 9 $.

答案： 上,4