《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 矩形$ABCD相似于矩形A'B'C'D'$,且$AB = 6 cm$,$A'B' = 4 cm$,则矩形$ABCD与矩形A'B'C'D'$的相似比为3:2.

答案： 3:2

2. $\triangle ABC与\triangle A'B'C'$相似,且$AB = 4 cm$,$BC = 6 cm$,$CA = 8 cm$,若$\triangle A'B'C'的最短边A'B' = 5 cm$,则$\triangle A'B'C'$的周长为22.5 cm.

答案： 22.5 cm

3. 下列命题不正确的是(C)
A.任意两个正方形一定相似
B.任意两个等边三角形一定相似
C.任意两个菱形一定相似
D.任意两个正六边形一定相似

答案： C

4. 如图,正五边形$FGHMN与正五边形ABCDE$相似.若$AB:FG = 2:3$,则下列结论正确的是(B)

A.$2DE = 3MN$
B.$3DE = 2MN$
C.$3\angle A = 2\angle F$
D.$2\angle A = 3\angle F$

答案： B

5. 如图,矩形$ABCD被分成5个正方形和2$个小矩形后形成一个中心对称图形,如果矩形$BEFG\sim矩形ABCD$,那么$\frac{S_{矩形BEFG}}{S_{矩形ABCD}}$的值为(C)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{5}$

答案： C

6. 如图,四边形$ABCD$为平行四边形,$AE平分\angle BAD交BC于点E$,过点$E作EF// AB$,交$AD于点F$,连接$BF$.
(1) 求证：$BF平分\angle ABC$；
(2) 若$AB = 6$,且四边形$ABCD与四边形CEFD$相似,求$BC$长.

答案：
(1)证明略；
(2)$\because$四边形$ABEF$为菱形，$\therefore BE=AB=6$.$\because$四边形$ABCD$与四边形$CEFD$相似，$\therefore \frac{AB}{CE}=\frac{BC}{CD}$，即$\frac{6}{BC-6}=\frac{BC}{6}$，解得$BC=3\pm 3\sqrt{5}$(负值舍去)，$\therefore BC=3+3\sqrt{5}$.

7. 如图,点$E$,$F分别在矩形ABCD的边BC$,$AD$上,$EF// AB$,$AB = 6$,$AD = 8$,当$AF$为何值时,矩形$ABEF与矩形ADCB$相似？

答案： $\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{AD}$，$\therefore \frac{AF}{6}=\frac{6}{8}$，$\therefore AF=\frac{9}{2}$.

8. 如图所示,两个等腰直角三角形的腰长分别为$4和6$,请判断两个等腰直角三角形是否相似.

答案： $BC=6\sqrt{2}$，$EF=4\sqrt{2}$.$\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$.$\angle B=\angle E=45^{\circ}$，$\angle C=\angle F=45^{\circ}$，$\angle A=\angle D=90^{\circ}$.$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle DEF$.

9. 如图,在长$30 m$、宽$20 m$的长方形土地中新建一个矩形花园.
(1) 若花园的四周均为$3 m$的通道,那么花园与原长方形土地是否相似？
(2) 如果左右通道宽相等,上下通道宽相等,那左右通道宽与上下通道宽的比为何值时,花园与原长方形土地相似？

答案：
(1)因为$\frac{24}{30}\neq \frac{14}{20}$，故花园与原长方形土地不相似.
(2)设上下通道宽为$x\ m$，左右通道宽为$y\ m$.由长方形四个角均为$90^{\circ}$，当$\frac{20-2x}{20}=\frac{30-2y}{30}$，$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$时，花园与原长方形土地相似.