《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,且AB= AC,则∠C= 45°.

答案： 45°

2. 如图,PA是⊙的切线,A为切点,⊙O的半径r= 8,∠APO= 30°,则切线PA的长为$8\sqrt{3}$.

答案： $8\sqrt{3}$

3. 如图,AB切⊙O于点A,BO交⊙O于点C,D是$\overset{\frown}{CMA}$上异于点C,A的一点,若∠ABO= 38°,则∠ADC= 26°.

答案： 26°

4. 下列说法,正确的是(B)

A.垂直于切线的直线必过圆心
B.圆的切线垂直于经过切点的半径
C.垂直于半径的直线是圆的切线
D.垂直于切线的直线必经过切点

答案： B

5. 如图,等边三角形ABC的边长为4,⊙C的半径为$\sqrt{3}$,P为AB边上一动点,过点P作⊙C的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为(D)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.3

答案： D

6. 如图,△ABC中,∠ACB= 90°,BO为△ABC的角平分线,以点O为圆心,OC为半径作⊙O与线段AC交于点D. 求证：AB为⊙O的切线.

答案： 证明：过O作OH⊥AB于H，
∵∠ACB=90°，
∴OC⊥BC.
∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB.
∴OH=OC，即OH为⊙O的半径.
∵OH⊥AB，
∴AB为⊙O的切线.

7. 如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,点O在AC上,以OA为半径的半圆O交AB于点D,交AC于点E,过点D作半圆O的切线DF,交BC于点F.
(1) 求证：BF= DF；
(2) 若AC= 4,BC= 3,CF= 1,求半圆O的半径长.

答案： （1）连接OD.
∵DF与半圆O相切于点D，
∴∠ODF=90°.
∴∠ADO+∠BDF=90°.
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠OAD+∠BDF=90°.
∵∠C=90°，
∴∠OAD+∠B=90°.
∴∠B=∠BDF.
∴BF=DF.（2）连接OF.设半圆O的半径为r，则OD=OE=r.
∵AC=4，BC=3，CF=1，
∴OC=4-r，DF=BF=3-1=2.
∵$OD^2+DF^2=OF^2=OC^2+CF^2$，
∴$r^2+2^2=(4-r)^2+1^2$.
∴$r=\frac{13}{8}$.故半圆O的半径长为$\frac{13}{8}$.

8. 如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,CD⊥AB于点D. P为AB延长线上一点,∠PCD= 2∠BAC.
(1) 求证：CP为⊙O的切线；
(2) 若BP= 1,CP= $\sqrt{5}$.
①求⊙O的半径；
②若M为AC上一动点,求OM+DM的最小值.

答案： （1）连接OC.
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO.
∴∠POC=2∠BAC.
∵∠PCD=2∠BAC，
∴∠POC=∠PCD.
∵CD⊥AB于点D，
∴∠ODC=90°，
∴∠POC+∠OCD=90°.
∴∠PCD+∠OCD=90°.
∴∠OCP=90°，
∴半径OC⊥CP.
∴CP为⊙O的切线.（2）①设⊙O的半径为r.在Rt△OCP中，$CO^2+CP^2=OP^2$.
∵BP=1，$CP=\sqrt{5}$，
∴$r^2+(\sqrt{5})^2=(r+1)^2$，解得r=2.
∴⊙O的半径为2.②作点O关于AC的对称点E，连接AE，EC，ED，ED交AC于点M，连接OM，此时OM+DM=ED即为所求.
∵AC垂直平分OE，
∴AE=AO=OC=CE=2.
∴四边形AOCE是菱形.
∴CE//AD.
∵∠CDP=90°，
∴∠ECD=90°.
∵OB=2，PB=1，
∴OP=3.又
∵$\frac{1}{2}OC\cdot CP=\frac{1}{2}OP\cdot CD$，
∴$CD=\frac{2\sqrt{5}}{3}$.在Rt△ECD中，EC=2，$CD=\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴$ED=\sqrt{CE^2+CD^2}=\frac{2\sqrt{14}}{3}$.
∴OM+DM的最小值为$\frac{2\sqrt{14}}{3}$.