《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例1 在△ABC和△A'B'C'中,
AB = 10 cm,BC = 8 cm,AC = 6 cm；
A'B' = 5 cm,B'C' = 4 cm,A'C' = 3 cm。
那么△ABC与△A'B'C'相似吗？
【思路导析】计算三组对应边的比。
【请你解答】

答案： $\because \frac {AB}{A'B'}=\frac {BC}{B'C'}=\frac {AC}{A'C'}=\frac {2}{1},\therefore \triangle ABC\backsim \triangle A'B'C'.$

例2 如图,在正方形网格上有△ABC和△DEF两个三角形,试说明△ABC∽△DEF。
【思路导析】设小正方形的边长为1,由勾股定理求出未知边,并计算各组对应边的比。
【请你解答】

答案： $AB=2,BC=\sqrt {2^{2}+2^{2}}=2\sqrt {2},AC=\sqrt {4^{2}+2^{2}}=2\sqrt {5}.ED=\sqrt {2},EF=2,DF=\sqrt {3^{2}+1^{2}}=\sqrt {10}.\because \frac {AB}{DE}=\frac {2}{\sqrt {2}}=\sqrt {2},\frac {BC}{EF}=\sqrt {2},\frac {AC}{DF}=\frac {2\sqrt {5}}{\sqrt {10}}=\sqrt {2}.\therefore \frac {AB}{ED}=\frac {BC}{EF}=\frac {AC}{DF}.\therefore \triangle ABC\backsim \triangle DEF.$

例3 如图,已知$\frac{AB}{AD}= \frac{BC}{DE}= \frac{AC}{AE}$,求证：∠BAD = ∠CAE。

答案：
【探究点拨】由△ABC∽△ADE可得∠BAC = ∠DAE。

【规范解答】证明：
∵$\frac{AB}{AD}= \frac{BC}{DE}= \frac{AC}{AE}$,
∴△ABC∽△ADE,
∴∠BAC = ∠DAE。
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC,
∴∠BAD = ∠CAE。

1. 如图,在正方形网格上画有梯形ABCD,求∠BDC的度数。
解：设小正方形边长为1,则在△ABD中,AD = 1,AB = $\sqrt{2}$,BD = $\sqrt{5}$。

在△BCD中,BD = $\sqrt{5}$,CD = $\sqrt{10}$,BC = 5。
∴$\frac{AD}{BD}= \frac{1}{\sqrt{5}}=$$\frac {\sqrt {5}}{5}$,$\frac{AB}{DC}= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=$$\frac {\sqrt {5}}{5}$,$\frac{BD}{BC}= \frac{\sqrt{5}}{5}$。
∴$\frac{AD}{BD}= \frac{AB}{DC}= \frac{BD}{BC}$。∴△BAD∽△CBD。
∴∠BDC = ∠BAD = $135^{\circ }$。

答案： $\frac {\sqrt {5}}{5},\frac {\sqrt {5}}{5},135^{\circ }$

2. 如图所示,方格纸中每个小正方形的边长为1,△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上,判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由。

答案： $\triangle ABC\backsim \triangle DEF$,理由略.