《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

<题目>

例

1 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ (-3,0) $,$ (2,0) $,则一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0) $ 的两根为______.
【思路导析】二次函数的图象与 $ x $ 轴相交,则 $ y = 0 $,此时有 $ ax^{2} + bx + c = 0 $.
【请你解答】$x_{1}=-3$,$x_{2}=2$.

答案： $x_{1}=-3$,$x_{2}=2$.

例 2 下列函数图象与 $ x $ 轴有两个交点的是(D)
A.$ y = x^{2} $
B.$ y = x^{2} + 4 $
C.$ y = 3x^{2} - 2x + 5 $
D.$ y = 3x^{2} + 5x - 1 $
【思路导析】抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴的交点的个数就是一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的实数根的个数.
【请你解答】______.

答案： D

例

3 二次函数 $ y = x^{2} + bx + c $ 的图象如图所示,则方程 $ x^{2} + bx + c = 0 $ 的两根是______.

【思路导析】抛物线与 $ x $ 轴的交点的横坐标就是一元二次方程的根.
【请你解答】$x_{1}=-1$,$x_{2}=2$.

答案： $x_{1}=-1$,$x_{2}=2$.

例 4 已知抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} + (6 - \sqrt{m^{2}})x + m - 3 $ 与 $ x $ 轴的两个交点关于 $ y $ 轴对称.
(1) 求 $ m $ 的值；
(2) 求抛物线的解析式.

答案： 【探究点拨】抛物线与 $ x $ 轴的两交点关于 $ y $ 轴对称,就是对应的一元二次方程的两根互为相反数.
【规范解答】
(1) 设抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} + (6 - \sqrt{m^{2}})x + m - 3 $ 与 $ x $ 轴的两交点为 $ (x_{1},0) $,$ (x_{2},0) $.
由 $ x_{1} + x_{2} = 0 $ 可得 $ |m| = 6 $,$ \therefore m = \pm 6 $.
当 $ m = -6 $ 时,抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} - 9 $,此时抛物线与 $ x $ 轴没有交点,不合题意,舍去；
当 $ m = 6 $ 时,抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} + 3 $,符合题意,故 $ m = 6 $.
(2) 抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} + 3 $.

1. 已知二次函数 $ y = mx^{2} + 5x - 10 $ 的图象与 $ x $ 轴有交点,求 $ m $ 的取值范围.

答案： $1. \Delta = 25 - 4m×(-10)=25 + 40m\geqslant0 ，m\geqslant-\frac{5}{8}.$$\therefore m\geqslant-\dfrac{5}{8}$且$m\neq0$.

2. 求证：不论 $ m $ 为何实数,抛物线 $ y = x^{2} - 2mx + m^{2} + 3 $ 与 $ x $ 轴始终没有交点.

答案： $\Delta=(-2m)^{2}-4(m^{2}+3)=-12＜0$,$\therefore$抛物线与$x$轴无交点.