《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 已知直角三角形两直角边的和等于10,两条直角边分别为5和5时,这个直角三角形面积最大,最大值为$\frac{25}{2}$.

答案： 5和5,$\frac{25}{2}$

2. 如图,在$ \triangle ABC $中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AB = 10 cm $,$ BC = 8 cm $,点$ P 从点 A 沿 AC 向点 C 以 1 cm/s $的速度运动,同时点$ Q 从点 C 沿 CB 向点 B 以 2 cm/s $的速度运动(点$ Q 运动到点 B $停止). 在运动过程中,四边形$ PABQ $的面积的最小值为______$15cm^{2}$.

答案： $15cm^{2}$

3. 如图所示,$ \triangle ABC $为等腰直角三角形,$ P_{1} $,$ P_{2} 分别从点 A $,$ B $出发,速度为$ 1 cm/s $,$ P_{1} 运动到 C $停止,$ AB = 100 cm $,$ t s 后 \triangle AP_{1}P_{2} 的面积 S 与 t $的函数关系式为(D)

A.$ S = t(100 - t) $
B.$ S = \dfrac{\sqrt{2}}{2}t^{2} - 50\sqrt{2}t $
C.$ S = \dfrac{\sqrt{2}}{2}t^{2} $
D.$ S = -\dfrac{\sqrt{2}}{4}t^{2} + 25\sqrt{2}t $

答案： D

4. 如图所示,已知正方形$ ABCD $的边长为1,$ E $,$ F $,$ G $,$ H $分别为各边上的点,且$ AE = BF = CG = DH $,设小正方形$ EFGH 的面积为 S $,$ AE 为 x $,则$ S 关于 x $的函数的图象大致是(B)

答案： B

5. 如图,某小区有一块靠墙(墙的长度不限)的矩形空地$ ABCD $. 为美化环境,用总长为$ 100 cm $的篱笆围成四块矩形花圃(靠墙一侧不用篱笆,篱笆的厚度不计). 若四块矩形花圃的面积相等,设$ BC 的长度为 x m $,矩形区域$ ABCD 的面积为 y m^{2} $.
(1) 求$ y 与 x $之间的函数关系式,并写出自变量$ x $的取值范围；
(2) 当$ x $为何值时,$ y $有最大值？最大值是多少？

答案：
(1)由四块矩形花圃的面积相等,可得$BE = ME=\frac{1}{2}AM$,$MG = GN$.
$\because$篱笆总长为$100m$,$BC = xm$,$\therefore 2AB + GH + 3BC = 100$.即$2AB+\frac{1}{2}AB + 3x = 100$.
$\therefore AB=(40-\frac{6}{5}x)m$.
$y = BC\cdot AB=x(40-\frac{6}{5}x)=-\frac{6}{5}x^{2}+40x$.
$\because x ＞ 0$,$40-\frac{6}{5}x ＞ 0$,$\therefore 0 ＜ x ＜ \frac{100}{3}$.
$\therefore y=-\frac{6}{5}x^{2}+40x(0 ＜ x ＜ \frac{100}{3})$.
(2)由$y=-\frac{6}{5}x^{2}+40x=-\frac{6}{5}(x - \frac{50}{3})^{2}+\frac{1000}{3}$,
$\therefore$当$x=\frac{50}{3}$时,$y$有最大值,最大值为$\frac{1000}{3}$.

6. 如图所示,$ \triangle ABC 是边长为 3 cm $的等边三角形,动点$ P $,$ Q 同时从 A $,$ B $两点出发,分别沿$ AB $,$ BC $方向匀速移动,它们的速度都是$ 1 cm/s $,当点$ P 到达点 B $时,$ P $,$ Q $两点停止运动. 设点$ P 的运动时间为 t(s) $,解答下列问题：
(1) 当$ t $为何值时,$ \triangle PBQ $是直角三角形？
(2) 设四边形$ APQC 的面积为 y cm^{2} $,求$ y 与 t $的函数关系式. 是否存在某一时刻$ t $,使得四边形$ APQC $的面积有最值？并求其最值.

答案：

(1)①当$PQ\perp BC$时,$\angle BPQ = 30^{\circ}$,即$BQ=\frac{1}{2}BP$,$t=\frac{3 - t}{2}$,$\therefore t = 1$.②当$PQ\perp AB$时,$\angle BQP = 30^{\circ}$,$BP=\frac{1}{2}BQ$,$3 - t=\frac{1}{2}t$,
$\therefore t = 2$.
当$t = 1s$或$t = 2s$时,$\triangle PBQ$为直角三角形,如图
(1)所示.

(2)作$QH\perp PB$于点$H$,$BQ = t$.如图
(2)所示.
$BP = 3 - t$,在$Rt\triangle BHQ$中,
$\because \angle B = 60^{\circ}$,$\therefore \angle HQB = 30^{\circ}$.$\therefore BH=\frac{1}{2}t$.
$\therefore HQ=\sqrt{t^{2}-(\frac{t}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}t$.
$\therefore S_{\triangle PBQ}=\frac{1}{2}PB\cdot HQ=\frac{1}{2}(3 - t)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}t$,
$S_{四边形APQC}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle PBQ}=\frac{\sqrt{3}}{4}× 3^{2}-\frac{1}{2}(3 - t)\frac{\sqrt{3}}{2}t=\frac{\sqrt{3}}{4}(t - \frac{3}{2})^{2}+\frac{27\sqrt{3}}{16}$.
当$t=\frac{3}{2}$时,$S_{最小值}=\frac{27\sqrt{3}}{16}$.即$t=\frac{3}{2}$时,四边形$APQC$面积最小,最小值为$\frac{27\sqrt{3}}{16}cm^{2}$.