《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例1 如图所示,把四边形 $ABCD$ 放大为原来的 $2$ 倍,画法如下：
(1) 在四边形 $ABCD$ 外任取一点 $O$,该点为位似中心；
(2) 以 $O$ 点为端点作射线 $OA$,$OB$,$OC$,$OD$；
(3) 分别在射线 $OA$,$OB$,$OC$,$OD$ 上,取点 $A'$,$B'$,$C'$,$D'$,使 $OA'= $2 $OA$,$OB'= $2 $OB$,$OC'= $2 $OC$,$OD'= $2 $OD$；
(4) 连接 $A'B'$,$B'C'$,$C'D'$,$D'A'$,则四边形 $A'B'C'D'$ 就是所画的图形。
【思路导析】先应选取位似中心,新图形与原图形的相似比为 $2$。

【请你解答】(1)位似中心;(3)2,2,2,2。

答案：
(1)位似中心;
(3)2,2,2,2

<题目>

例

2 如图所示,$O$ 为 $\triangle ABC$ 内一点,以 $O$ 为位似中心,将 $\triangle ABC$ 缩小,使相似比为 $\frac{1}{2}$ 的作法是：连 $OA$,取 $OA$ 的中点 $A'$,同理取点 $B'$,$C'$,连 $A'B'$,$B'C'$,$A'C'$ 即可；若要把 $\triangle ABC$ 扩大,使相似比为 $2$,其作法是____(只写出一个对应点 $A'$ 的作法)。

【思路导析】$A'O = 2OA$。
【请你解答】延长OA到$A'$，使$AA'=OA$。

答案： 延长OA到$A'$，使$AA'=OA$。

例3 如图所示,在 $6×8$ 的网格中,每个小正方形的边长均为 $1$,点 $O$ 和 $\triangle ABC$ 的顶点均为小正方形顶点。
(1) 以 $O$ 为位似中心,在网格中作 $\triangle A'B'C'$,使 $\triangle A'B'C'$ 与 $\triangle ABC$ 位似,且相似比为 $\frac{1}{2}$；

(2) 连接(1)中 $AA'$,求四边形 $AA'C'C$ 的周长(结果保留根号)。

答案：
【探究点拨】
(1) 是把 $\triangle ABC$ 缩小；
(2) 四边形 $AA'C'C$ 为梯形,求边长需用勾股定理。
【规范解答】
(1) 如图所示。

(2) $AA' = CC' = 2$,在 $Rt\triangle OA'C'$ 中,$OA' = OC' = 2$,得 $A'C' = 2\sqrt{2}$,于是 $AC = 4\sqrt{2}$,
$\therefore$ 四边形 $AA'C'C$ 的周长为 $4 + 6\sqrt{2}$。

在图1,图2所示的 $6×6$ 网格中,每个小正方形的边长均为 $1$,点 $A$,$B$,$C$ 均在格点上,仅用无刻度的直尺,按下列要求完成作图,并保留作图痕迹。
(1) 在图1中,以点 $C$ 为位似中心,将 $\triangle ABC$ 放大到原来的 $2$ 倍；
(2) 在图2中,在线段 $AC$ 上作点 $D$,使得 $AD:CD = 2:3$。

答案：
(1) 作图步骤：
① 连接 $ CA $ 并延长，在延长线上截取 $ CA' = 2CA $，得到点 $ A' $；
② 连接 $ CB $ 并延长，在延长线上截取 $ CB' = 2CB $，得到点 $ B' $；
③ 连接 $ A'B' $，则 $ \triangle A'B'C $ 即为将 $ \triangle ABC $ 以 $ C $ 为位似中心放大2倍后的图形。
(2) 作图步骤：
① 过点 $ A $ 作水平网格线（或其他格线），在该线上取格点 $ E $、$ F $，使 $ AE = 2 $ 个单位长度，$ EF = 3 $ 个单位长度（即 $ AE:EF = 2:3 $）；
② 连接 $ FC $；
③ 过点 $ E $ 作 $ FC $ 的平行线（利用网格中平行格线构造），交 $ AC $ 于点 $ D $，则点 $ D $ 即为所求。
（注：作图痕迹需包含各连线、延长线及交点，此处以文字描述作图步骤，实际答题需在图中对应位置画出痕迹。）