《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例1 (1)设圆心到直线$l的距离为d$,直线$l和\odot O相交\Leftrightarrow d$＜$r$；直线$l和\odot O$相切$\Leftrightarrow d = r$；直线$l和\odot O相离\Leftrightarrow d$＞$r$；
(2)在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 3\ cm$,$BC = 4\ cm$,$CD \perp AB于点D$,以点$C$为圆心、$3\ cm为半径作\odot C$,则$AB与\odot C$的位置关系为(A)
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 相交或相离
【思路导析】运用直线与圆的三种位置关系的定义来识别。
【请你解答】(1)＜,相切,＞；(2)A。

答案：
(1)＜,相切,＞;
(2)A(解析:用面积法求出点C到AB的距离为$\frac{12}{5}＜3.$)

例2 圆的直径为$12\ cm$,如果直线与圆心的距离分别是：
(1)$4.5\ cm$； (2)$6\ cm$； (3)$8\ cm$。
那么直线与圆分别是什么位置关系？各有几个公共点？
【思路导析】圆的半径为$6\ cm$,圆心到直线的距离$d分别为4.5\ cm$,$6\ cm$,$8\ cm$,比较$r与d$的大小关系。
【请你解答】

答案：
(1)相交,两个公共点;
(2)相切,一个公共点;
(3)相离,无公共点

例3 如图,$\triangle ABC$为等腰三角形,点$O为底边BC$的中点,$OD \perp AB$,以点$O$为圆心,$OD为半径作\odot O$,求证：$AC与\odot O$相切。

答案：
【探究点拨】过点$O作OE \perp AC$,垂足为$E$,证$OE = OD$即可。
【规范解答】过点$O作OE \perp AC$,垂足为$E$,如图。
因为$O是BC$的中点,$AB = AC$,
所以$\angle B = \angle C$,$OB = OC$。

$\because \angle ODB = \angle OEC = 90^{\circ}$,
$\therefore \triangle OBD \cong \triangle OCE(AAS)$。
所以$OE = OD$。
因为点$O到直线AC的距离为OE$,而$OD是\odot O$的半径,所以$\odot O与AC$相切。

1. 如图,正方形$ABCD的边长为4$,$\odot O的半径为1$,正方形中心$O_{1}与圆心O在直线l$上,$\odot O与CD$边相切。$\odot O以1\ cm/s$的速度向左边运动。
(1)当运动时间$t在何数值范围时\odot O与CD$相交？
(2)当$t$为何值时,$\odot O与AB$相切？

答案：

解：

(1)根据题意得：当$t = 0$或$t = 2$时，$\odot O$与$CD$边相切，故当$0 ＜ t ＜ 2$时，$O$到$CD$的距离$d ＜ r$，$\odot O$与$CD$相交。

(2)根据题意得：当$t = 4$时，$O$到$AB$的距离$d = 1$，$\odot O$与$AB$相切；当$t = 6$时，$O$到$AB$的距离$d = 1$，$\odot O$与$AB$相切。

综上所述，当$t = 4$或$t = 6$时，$\odot O$与$AB$相切。

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,$O为AB$上一点,$AO = k$,$\odot O的半径为1$。问：$k$为何值时,$\odot O与AC$：
(1)相离？ (2)相切？ (3)相交？

答案：
(1)$k＞\frac{2\sqrt{3}}{3}$;
(2)$k=\frac{2\sqrt{3}}{3}$;
(3)$0＜k＜\frac{2\sqrt{3}}{3}$