《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

14. 我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种生长温度为 $ 15^{\circ}C \sim 20^{\circ}C $ 的新品种,如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚里温度 $ y(^{\circ}C) $ 随时间 $ x(h) $ 变化的函数图象,其中 $ AB $ 段是恒温阶段,$ BC $ 段是双曲线 $ y = \frac{k}{x} $ 的一部分. 请根据图中信息解答下列问题：
(1)求 $ k $ 的值；
(2)恒温系统在一天内保持大棚里温度在 $ 15^{\circ}C $ 及 $ 15^{\circ}C $ 以上的时间有多少小时？

答案：
(1)把$B(12,20)$代入$y=\dfrac{k}{x}$,得$k=12× 20=240$.
(2)设$AD$的解析式为$y=mx+n$,把$(0,10)$,$(2,20)$代入$y=mx+n$,得$\left\{\begin{array}{l} n=10,\\ 2m+n=20,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} m=5,\\ n=10.\end{array}\right. $$\therefore AD$的解析式为$y=5x+10$.当$y=15$时,$15=5x+10$,$x=1$;$15=\dfrac{240}{x}$,$x=\dfrac{240}{15}=16$,$\therefore 16-1=15$.答:恒温系统在一天内保持大棚里温度在$15^{\circ}C$及$15^{\circ}C$以上的时间有15小时.

15. 如图,在平面直角坐标系中,$ Rt \triangle ABC $ 的斜边 $ BC $ 在 $ x $ 轴上,坐标原点是 $ BC $ 的中点,$ \angle ABC = 30^{\circ} $,$ BC = 4 $,双曲线 $ y = \frac{k}{x} $ 经过点 $ A $.
(1)求 $ k $ 的值；
(2)直线 $ AC $ 与双曲线 $ y = -\frac{3\sqrt{3}}{x} $ 在第四象限交于点 $ D $,求 $ \triangle ABD $ 的面积.

答案：
(1)$k=\sqrt{3}$;
(2)设直线$AC$的解析式为$y=ax+b$,$\because A(1,\sqrt{3})$,$C(2,0)$,$\therefore \left\{\begin{array}{l} 0=2a+b,\\ \sqrt{3}=a+b,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=-\sqrt{3},\\ b=2\sqrt{3}.\end{array}\right. $$\therefore$直线$AC$的解析式为$y=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$.联立$\left\{\begin{array}{l} y=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3},\\ y=-\dfrac{3\sqrt{3}}{x},\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=-\sqrt{3}\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} x=-1,\\ y=3\sqrt{3}.\end{array}\right. $$\because D$在第四象限,$\therefore D(3,-\sqrt{3})$.$\therefore S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle BCD}=\dfrac{1}{2}BC\cdot y_{A}+\dfrac{1}{2}BC\cdot (-y_{D})=\dfrac{1}{2}× 4× \sqrt{3}+\dfrac{1}{2}× 4× \sqrt{3}=4\sqrt{3}$.

16. 如图所示,已知直线 $ y = \frac{1}{2}x $ 与双曲线 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0) $ 交于点 $ A $,且点 $ A $ 的横坐标为 $ 4 $.
(1)求 $ k $ 的值；
(2)若双曲线 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0) $ 上的一点 $ C $ 的纵坐标为 $ 8 $,求它的横坐标；
(3)连接 $ OC $,$ AC $,试求 $ \triangle AOC $ 的面积.

答案：
(1)$k=8$;
(2)横坐标为1;
(3)因为$S_{\triangle COD}=S_{\triangle AOB}$,所以$S_{\triangle COD}-S_{\triangle DOE}=S_{\triangle AOB}-S_{\triangle DOE}$,即$S_{\triangle COE}=S_{四边形AEDB}$,$S_{\triangle AOC}=S_{\triangle COE}+S_{\triangle CEA}=S_{四边形AEDB}+S_{\triangle CEA}=S_{梯形ABOC}=15$.

17. 如图,一次函数 $ y_{1} = kx + b(k \neq 0) $ 与反比例函数 $ y_{2} = \frac{m}{x}(x ＞ 0) $ 的图象交于 $ A(4,1) $,$ B(a,8) $ 两点.
(1)求这两个函数的解析式；
(2)根据图象,直接写出满足 $ y_{1} - y_{2} ＞ 0 $ 时 $ x $ 的取值范围；
(3)点 $ P $ 在线段 $ AB $ 上,过点 $ P $ 作 $ x $ 轴的垂线,垂足为 $ M $,交反比例函数 $ y_{2} $ 的图象于点 $ Q $,若 $ \triangle POQ $ 的面积为 $ 3 $,求点 $ P $ 的坐标.

答案：
(1)$y_{1}=-2x+9$,$y_{2}=\dfrac{4}{x}(x＞0)$;
(2)$\dfrac{1}{2}＜ x＜4$;
(3)由题意,设$P(p,-2p+9)$且$\dfrac{1}{2}\leqslant p\leqslant 4$,$\therefore Q\left(p,\dfrac{4}{p}\right)$,$\therefore PQ=-2p+9-\dfrac{4}{p}$,$\therefore S_{\triangle POQ}=\dfrac{1}{2}\left(-2p+9-\dfrac{4}{p}\right)\cdot p=3$,解得$p_{1}=\dfrac{5}{2}$,$p_{2}=2$,$\therefore P\left(\dfrac{5}{2},4\right)$或$P(2,5)$.