《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例1 如图所示,四边形$ABCD与四边形A'B'C'D'$是相似四边形.若$\angle A = 60^{\circ}$,$AB = 4 cm$,$CD = 2 cm$,$A'B' = 2 cm$,则$\angle A' = $60°,$C'D' = $1$ cm$.

【思路导析】相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.
【请你解答】______；______.

答案： 60°；1

例2 在下面三个矩形中,相似的是(B)

A.甲和乙
B.甲和丙
C.乙和丙
D.甲、乙和丙
【思路导析】由于矩形的四个角都是直角,故只需考虑对应边的比是否相等.
【请你解答】______.

答案： B

例3 两个相似多边形的对应边的比为$2:3$,则它们的相似比为2:3.
【思路导析】相似多边形对应边的比就是相似比.
【请你解答】2:3.

答案： 2:3

例4 如图,梯形$ABCD与梯形A'B'C'D'$相似,求未知边$x$,$y$,$z的长度和角\alpha$,$\beta$的度数.

答案： 【探究点拨】由相似多边形的特征结合平行线的性质求解.
【规范解答】$\because梯形ABCD与梯形A'B'C'D'$相似,
$\therefore\frac{x}{4} = \frac{9.6}{6.4}$,$x = 6$；$\frac{y}{8} = \frac{9.6}{6.4}$,$y = 12$；
$\frac{z}{9} = \frac{4}{x}$,$z = \frac{4 × 9}{6} = 6$.
由梯形$ABCD与梯形A'B'C'D'$相似,得$\alpha = \angle D$,$\angle C = \angle C' = 110^{\circ}$.
又$AB// CD$,
$\therefore \angle D = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 62^{\circ} = 118^{\circ}$.
$\therefore \alpha = 118^{\circ}$,$\beta = 180^{\circ} - \angle C = 118^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$.
即$x = 6$,$y = 12$,$z = 6$；$\alpha = 118^{\circ}$,$\beta = 70^{\circ}$.

1. 如图,$DE// BC且\triangle ADE与\triangle ABC$相似,试求两个三角形中未知边$DE和AC$的长.

答案： 由题意得$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，$\therefore \frac{2}{2+4}=\frac{DE}{6}=\frac{1.5}{AC}$，$\therefore DE=2$，$AC=4.5$.

2. 如图,四边形$ABCD与四边形A'B'C'D'$相似,求边$x$,$y的长度和角\alpha$的大小.

答案： $\because$四边形$ABCD$与四边形$A'B'C'D'$相似，$\therefore \frac{x}{8}=\frac{y}{11}=\frac{9}{6}$，$\angle C=\alpha$，$\angle D=\angle D'=140^{\circ}$.$\therefore x=12$，$y=\frac{33}{2}$，$\alpha=\angle C=360^{\circ}-\angle A-\angle B-\angle D=360^{\circ}-62^{\circ}-75^{\circ}-140^{\circ}=83^{\circ}$.