《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 已知抛物线$y = x^{2}+mx - 5经过点(2,-5)$,则解析式为$y=x^{2}-2x-5$。

答案： $y=x^{2}-2x-5$

2. 已知抛物线与$x轴的交点为A(-1,0)$,$B(3,0)$,当抛物线与$y轴交点为(0,4)$时,该抛物线的解析式为$y=-\frac {4}{3}x^{2}+\frac {8}{3}x+4$。

答案： $y=-\frac {4}{3}x^{2}+\frac {8}{3}x+4$

3. 已知二次函数图象的顶点为$(1,-3)$,且该抛物线经过点$P(2,0)$,则这个二次函数的解析式为$y=3x^{2}-6x$。

答案： $y=3x^{2}-6x$

4. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c中的x$,$y$的部分对应值如下表：

则该二次函数的解析式为$y=x^{2}-3x+1$,$m$的值为5。

答案： $y=x^{2}-3x+1$;5

5. 若抛物线$y = x^{2}+bx + c经过A(-1,0)和B(1,-4)$两点,则$b$,$c$的值分别为(A)
A.$-2$,$-3$
B.$-2$,$-2$
C.$-4$,$-2$
D.$2$,$-4$

答案： A

6. 抛物线$y = ax^{2}+bx + c$的图象如图所示,若$S_{\triangle ABC}= 3$,则此抛物线的解析式为(D)


A.$y = -x^{2}+4x - 3$
B.$y = 4x^{2}-x + 3$
C.$y = x^{2}+4x - 3$
D.$y = x^{2}-4x + 3$

答案： D

7. 已知二次函数$y = 4x^{2}-mx + 5$,当$x\lt -2$时,$y随x$的增大而减小；当$x\gt -2$时,$y随x$的增大而增大,则当$x = 1$时,$y$的值为(D)
A.$-7$
B.$1$
C.$17$
D.$25$

答案： D

8. 已知抛物线$y = -x^{2}+bx + c经过点B(-1,0)和点C(2,3)$。
(1)求此抛物线的解析式；
(2)如果此抛物线上下平移后过点$(-2,-1)$,试确定平移的方向和平移的距离。

答案：
(1)将点$B(-1,0),C(2,3)$代入$y=-x^{2}+bx+c$,得$\left\{\begin{array}{l} -1-b+c=0,\\ -4+2b+c=3,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} b=2,\\ c=3,\end{array}\right. $
∴此抛物线的解析式为$y=-x^{2}+2x+3.$
(2)在$y=-x^{2}+2x+3$中,当$x=-2$时,$y=-4-4+3=-5$.即点$(-2,-5)$平移后的对应点为$(-2,-1)$,
∴需将抛物线向上平移4个单位长度.

9. 如图,抛物线$y = ax^{2}+bx + c与x轴交于点A(-5,0)$,$B(-1,0)$,与$y轴交于点C(0,-5)$,$P$是抛物线上的一点,连接$PA$、$PC$,$PC与x轴交于点D$。
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)若点$P的坐标为(-2,3)$,求$\triangle APC$的面积。

答案：
(1)由题意,设抛物线的解析式为$y=a(x+5)(x+1)$,把$C(0,-5)$代入得$5a=-5$,解得$a=-1$,
∴抛物线的解析式为$y=-(x+5)(x+1)=-x^{2}-6x-5$.
(2)设直线 PC 的解析式为$y=mx+n$,把$P(-2,3),C(0,-5)$代入,得$\left\{\begin{array}{l} -2m+n=3,\\ n=-5,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} m=-4,\\ n=-5,\end{array}\right. $
∴直线 PC 的解析式为$y=-4x-5$.
∴点 D 的坐标为$(-\frac {5}{4},0).\therefore AD=(-\frac {5}{4})-(-5)=\frac {15}{4}.\therefore S_{\triangle APC}=S_{\triangle APD}+S_{\triangle ACD}=\frac {1}{2}AD\cdot [3-(-5)]=\frac {1}{2}×\frac {15}{4}×8=15.$

10. 如图,抛物线$y = -x^{2}+2x + c与x$轴正半轴,$y轴正半轴分别交于点A$,$B$,且$OA = OB$,$G$为抛物线的顶点。
(1)求抛物线的解析式及点$G$的坐标；
(2)$M$,$N$为抛物线上两点(点$M在点N$的左侧),且到对称轴的距离分别为$3个单位长度和5$个单位长度,点$Q为抛物线上点M$,$N$之间(含点$M$,$N$)的一个动点,求点$Q的纵坐标y_{Q}$的取值范围。

答案：
(1)
∵抛物线$y=-x^{2}+2x+c$与y轴正半轴交于点B,
∴点$B(0,c)(c＞0)$.
∵$OA=OB=c$,
∴点$A(c,0).\therefore 0=-c^{2}+2c+c.\therefore c=3$或0(舍去).
∴抛物线的解析式为$y=-x^{2}+2x+3.\because y=-x^{2}+2x+3=-(x-1)^{2}+4$,
∴顶点 G 的坐标为$(1,4)$.
(2)
∵$y=-x^{2}+2x+3=-(x-1)^{2}+4$,
∴对称轴为直线$x=1$.
∵点 M,N 为抛物线分别在点 G 的左侧,且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,
∴点 M 的横坐标为-2 或4,点 N 的横坐标为6.
∴点 M 坐标为$(-2,-5)$或$(4,-5)$,点 N 坐标为$(6,-21)$.
∵点 Q 为抛物线上点 M,N 之间(含点 M,N)的一个动点,
∴$-21≤y_{Q}≤4$或$-21≤y_{Q}≤-5.$