《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例 1 对于方程 $ 2 x ^ { 2 } - 3 x = - 1 $,下列说法不正确的是(D)
A.该方程化成一般式为 $ 2 x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0 $
B.该方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 $ 2 $,$ - 3 $,$ 1 $
C.该方程的根为 $ x _ { 1 } = 1 $,$ x _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } $
D.该方程的根为 $ x _ { 1 } = \frac { 3 + \sqrt { 17 } } { 4 } $,$ x _ { 2 } = \frac { 3 - \sqrt { 17 } } { 4 } $
【思路导析】先将原方程化成一般形式,再用公式法求解。
【请你解答】______.

答案： D

例

2 用公式法解下列方程：
(1)$ 2 x ^ { 2 } - x = 3 $；(2)$ y ^ { 2 } = 4 y - 3 $.
【思路导析】将原方程化成一般形式,即 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 $ 的形式,求出 $ b ^ { 2 } - 4 a c $ 的值,然后再根据 $ b ^ { 2 } - 4 a c $ 的值的情况,利用求根公式求解。
【请你解答】

答案：
(1)$x_{1}=\frac{3}{2},x_{2}=-1$;
(2)$y_{1}=1,y_{2}=3$

例 3 若关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - 6 x - k - 1 = 0 $ 与 $ x ^ { 2 } - k x - 7 = 0 $ 只有一个公共的实数根,试求 $ k $ 的值和两方程不同的根.

答案： 【探究点拨】设公共根为 $ x = t $,将 $ x = t $ 分别代入两个方程即可得到一个关于 $ t $,$ k $ 的方程组,然后求出 $ t $,$ k $ 的值,进而求出两方程的不同根.
【规范解答】设两方程的公共根为 $ x = t $,依题意有
$\begin{cases}t ^ { 2 } - 6 t - k - 1 = 0, & ① \\t ^ { 2 } - k t - 7 = 0. & ②\end{cases} $
① $ - $ ②,得 $ ( k - 6 ) t = k - 6 $.
当 $ k - 6 \neq 0 $ 时,$ t = 1 $,即两方程的公共根为 $ x = 1 $.
当 $ k - 6 = 0 $ 时,即 $ k = 6 $ 时,两方程均可化为 $ x ^ { 2 } - 6 x - 7 = 0 $,不符合题意,舍去.
因为公共根为 $ x = 1 $,代入 $ x ^ { 2 } - 6 x - k - 1 = 0 $,
可化为 $ 1 - 6 - k - 1 = 0 $,此时 $ k = - 6 $,
将 $ k = - 6 $ 代入原方程,得
$ x ^ { 2 } - 6 x + 5 = 0 $ 和 $ x ^ { 2 } + 6 x - 7 = 0 $.
用公式法求得方程 $ x ^ { 2 } - 6 x + 5 = 0 $ 的根为 $ x _ { 1 } = 1 $,$ x _ { 2 } = 5 $.
用公式法求得方程 $ x ^ { 2 } + 6 x - 7 = 0 $ 的根为 $ x _ { 1 } = 1 $,$ x _ { 2 } = - 7 $.
故 $ k = - 6 $,不同根分别为 $ x = 5 $ 和 $ x = - 7 $.

1. 用公式法解下列方程：
(1)$ 3 y ^ { 2 } = 8 y + 2 $；(2)$ ( x - 2 ) ( x + 2 ) = 2 \sqrt { 2 } x $.

答案： 1.
(1)$y_{1}=\frac{4+\sqrt{22}}{3},y_{2}=\frac{4-\sqrt{22}}{3}$;
(2)$x_{1}=\sqrt{2}+\sqrt{6},x_{2}=\sqrt{2}-\sqrt{6}$

2. 已知关于 $ x $ 的方程 $ 2 x ^ { 2 } - k x + 1 = 0 $ 的一个根与方程 $ 2 x + 1 = 4 - 4 x $ 的解相同.
(1)求 $ k $ 的值；
(2)用公式法求方程 $ 2 x ^ { 2 } - k x + 1 = 0 $ 的另一个根.

答案： 2.
(1)方程$2x+1=4(1-x)$的解为$x=\frac{1}{2}$,把$x=\frac{1}{2}$代入$2x^{2}-kx+1=0$,得$k=3$;
(2)$2x^{2}-3x+1=0$,$x=\frac{3\pm\sqrt{9-8}}{2×2}=\frac{3\pm1}{4}$,$x_{1}=1$,$x_{2}=\frac{1}{2}$,即方程$2x^{2}-kx+1=0$的另一根为1.