《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例 1 销售某种文具盒,若每个获利 $ x $ 元,一天可售出 $ (6 - x) $ 个,要使一天出售该种文具盒的总利润最大,求 $ x $ 的值。
【思路导析】由“总利润 $ = $ 单个利润 $ × $ 销售量”建立函数关系式。
【请你解答】

答案： 设总利润为y元,则y=x(6-x)=-x²+6x=-(x-3)²+9.
∴当x=3时,y最大值=9,即x=3.

例 2 商场对某种商品进行市场调查,1 至 6 月份该种商品的销售情况如下：

①成本单价 $ p $(元/千克)与月份 $ x $ 的关系如图所示；②销售单价 $ q $(元/千克)与月份 $ x $ 满足 $ q = -\frac{3}{2}x + 15 $；③销售量 $ m $(千克)与月份 $ x $ 满足 $ m = 100x + 200 $,试解决如下问题：
(1)根据图形,求 $ p $ 与 $ x $ 之间的函数关系式；
(2)求该种商品每月的销售利润 $ y $(元)与月份 $ x $ 的函数关系式,并求出哪个月的销售利润最大。

答案： 【探究点拨】
(1) $ p $ 与 $ x $ 是一次函数关系；
(2)销售利润 $ = $(销售单价 $ - $ 成本单价) $ × $ 销售量。
【规范解答】
(1)根据图象,知 $ p $ 与 $ x $ 之间的关系符合一次函数,故可设 $ p $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为 $ p = kx + b $。
把 $ (1,9) $,$ (6,4) $ 代入 $ p = kx + b $ 中,得 $ \begin{cases} 9 = k + b \\ 4 = 6k + b \end{cases} $。
$ \therefore \begin{cases} k = -1 \\ b = 10 \end{cases} $。
故 $ p $ 与 $ x $ 的函数关系式为 $ p = -x + 10 $。
(2)根据题意,月销售利润
$ y = (q - p)m $
$ = \left[ \left( -\frac{3}{2}x + 15 \right) - (-x + 10) \right](100x + 200) $。
化简,得 $ y = -50x^2 + 400x + 1000 = -50(x - 4)^2 + 1800 $,所以 4 月份的销售利润最大。

某公司经销一种绿茶,每千克的成本为 50 元,市场调查发现,在一段时间内,销售量 $ w $(单位：千克)随销售单价 $ x $(单位：元/千克)的变化而变化,具体关系式为 $ w = -2x + 240 $。设这种绿茶在这段时间内的销售利润为 $ y $(单位：元),解答下列问题：
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式；
(2)当 $ x $ 取何值时,$ y $ 的值最大？

答案：
(1)y=-2x²+340x-12000;
(2)y=-2x²+340x-12000=-2(x²-170x+85²)+2×85²-12000=-2(x-85)²+2450,
∴当x=85时,y最大值=2450.