《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 如果圆锥的底面周长是 $ 10 \pi $,侧面展开后得到扇形的圆心角为 $ 120^{\circ} $,则圆锥的母线长为 15。

答案： 15

2. 如图,圆锥的底面半径 $ O B $ 为 $ 8 \mathrm{cm} $,它的展开图是半径为 $ 20 \mathrm{cm} $ 的扇形,则这个扇形的圆心角 $ \alpha $ 的度数为 $144^{\circ }$。

答案： $144^{\circ }$

3. 如图,从纸上分别剪下一个圆形和一个扇形,已知圆的半径为 $ 2 $,扇形的圆心角为 $ 120^{\circ} $,若用它们恰好围成一个圆锥模型,则此扇形的半径为 6。

答案： 6

4. 如图,$ C $ 为扇形 $ O A B $ 的半径 $ O B $ 上一点,将 $ \triangle O A C $ 沿 $ A C $ 折叠,点 $ O $ 恰好落在 $ \overgroup{A B} $ 上的点 $ D $ 处,且 $ \overgroup{A D} $ 的长是 $ \overgroup{B D} $ 的长的 $ 3 $ 倍。若将此扇形 $ O A B $ 围成一个圆锥,则圆锥的底面半径与母线长的比为(D)

A.$ 1: 3 $
B.$ 1: \pi $
C.$ 1: 4 $
D.$ 2: 9 $

答案： D

5. 如图,小明用一个半径为 $ 24 \mathrm{cm} $,面积为 $ 240 \pi \mathrm{cm}^{2} $ 的扇形纸板,制作一个圆锥形的玩具帽,求帽子的底面半径 $ r $。

答案： $\because S=\frac {nπR^{2}}{360},\therefore 240π=\frac {nπ×24^{2}}{360},\therefore n=150,\because \frac {nπR}{180}=2πr,\therefore r=10.$

6. 如图,在梯形 $ A B C D $ 中,$ A D // B C $,$ \angle C= 90^{\circ} $,$ \angle B A D= 120^{\circ} $,$ A B= A D= 4 $,$ B C= 6 $,以点 $ A $ 为圆心在这个梯形内画出一个最大的扇形(图中阴影部分)。
(1)求这个扇形的面积；
(2)若将这个扇形围成圆锥,求这个圆锥的底面积。

答案：
(1)过点A作$AE⊥BC$于E,$\therefore ∠AEB=90^{\circ }.\because AD// BC,∠BAD=120^{\circ },\therefore ∠BAE=30^{\circ }$,则$BE=\frac {1}{2}AB=4×\frac {1}{2}=2.\therefore AE=\sqrt {AB^{2}-BE^{2}}=2\sqrt {3}.\because ∠BAD=120^{\circ }$,
∴扇形的面积为$\frac {120π×(2\sqrt {3})^{2}}{360}=4π.$
(2)设圆锥的底面半径为r,则$2πr=\frac {120π×2\sqrt {3}}{180}$,解得$r=\frac {2\sqrt {3}}{3}$.
∴这个圆锥的底面积为$πr^{2}=π\cdot (\frac {2\sqrt {3}}{3})^{2}=\frac {4}{3}π.$

7. 已知一个圆锥的底面直径与它的母线长相等,求这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数。

答案： $180^{\circ }$

8. 如图,$ A C= 10 $,$ \angle B A C= 30^{\circ} $,$ \angle A B C= 45^{\circ} $,将 $ \triangle A B C $ 绕 $ A M $ 旋转一周,可得到一个立体图形,求该立体图形的表面积。

答案： 过点C作$CD⊥AB$,垂足为点D.$\because AC=10,∠BAC=30^{\circ },\therefore CD=\frac {1}{2}AC=5,\because ∠ABC=45^{\circ },\therefore BC=\sqrt {2}CD=5\sqrt {2},\therefore S=πr\cdot AC+πr\cdot BC=πr(AC+BC)=π×5(10+5\sqrt {2})=50π+25\sqrt {2}π.$