《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. (1) 方程 $ x^{2} - 4 = 0 $ 的根是x=±2；
(2) 方程 $ 16x^{2} - 1 = 0 $ 的根是$x=±\frac{1}{4}$.

答案：
(1)x=±2；$(2)x=±\frac{1}{4}$

2. 已知 $ k $ 是一元二次方程 $ x^{2} - x - 2 = 0 $ 的一个根,则 $ k^{2} - k = $2.

答案： 2

3. 已知 $ 2 - \sqrt{3} $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} - 4x - c = 0 $ 的一个根,则 $ c = $-1.

答案： -1

4. 已知关于 $ x $ 的方程 $ (k^{2} - 1)x^{2} + x - 4 = 0 $ 有一个根为 $ 1 $,则 $ k $ 的值为(B)
A.$ - 2 $
B.$ 2 $ 或 $ - 2 $
C.$ 2 $
D.以上都不对

答案： B

5. 设 $ m,n $ 是一元二次方程 $ x^{2} + 3x + 2 = 0 $ 的两个根,则 $ (m^{2} + 3m)(n^{2} + 3n) $ 的值为(A)
A.$ 4 $
B.$ - 4 $
C.$ - 8 $
D.$ 8 $

答案： A

6. 验一验,下列括号里的各数值是不是前面方程的根.
(1) $ 2x^{2} - x - 6 = 0(2,\frac{2}{3}) $；
(2) $ x^{3} - 2x = x^{2}(0,-1,1) $.

答案： $(1)$
解：
- 当$x = 2$时，将$x = 2$代入方程$2x^{2}-x - 6$得：
$2×2^{2}-2 - 6=2×4-2 - 6=8 - 2 - 6=0$，所以$x = 2$是方程$2x^{2}-x - 6 = 0$的根。
- 当$x=\frac{2}{3}$时，将$x=\frac{2}{3}$代入方程$2x^{2}-x - 6$得：
$2×(\frac{2}{3})^{2}-\frac{2}{3}-6=2×\frac{4}{9}-\frac{2}{3}-6=\frac{8}{9}-\frac{6}{9}-6=\frac{2}{9}-6=-\frac{52}{9}\neq0$，所以$x = \frac{2}{3}$不是方程$2x^{2}-x - 6 = 0$的根。
$(2)$
解：
- 当$x = 0$时，将$x = 0$代入方程$x^{3}-2x - x^{2}$得：
$0^{3}-2×0 - 0^{2}=0$，所以$x = 0$是方程$x^{3}-2x = x^{2}$的根。
- 当$x=-1$时，将$x=-1$代入方程$x^{3}-2x - x^{2}$得：
$(-1)^{3}-2×(-1)-(-1)^{2}=-1 + 2 - 1=0$，所以$x=-1$是方程$x^{3}-2x = x^{2}$的根。
- 当$x = 1$时，将$x = 1$代入方程$x^{3}-2x - x^{2}$得：
$1^{3}-2×1 - 1^{2}=1 - 2 - 1=-2\neq0$，所以$x = 1$不是方程$x^{3}-2x = x^{2}$的根。
综上，$(1)$中$2$是方程的根，$\frac{2}{3}$不是方程的根；$(2)$中$0$，$-1$是方程的根，$1$不是方程的根。

7. 已知 $ x = 1 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} + ax + b = 0 $ 的一个根,求 $ a^{2} + 2ab + b^{2} $ 的值.

答案：
∵x=1是方程x²+ax+b=0的一个根，
∴1+a+b=0,
∴a+b=-1.
∴a²+2ab+b²=(a+b)²=(-1)²=1.

8. 已知 $ m $ 是方程 $ x^{2} - x - 2 = 0 $ 的一个根,求代数式 $ 4m^{2} - 4m - 2 $ 的值.

答案： 依题意有m² -m -2=0,得m² -m=2,4m² -4m -2=4(m² -m)-2=4×2 -2=6.

9. 在一元二次方程 $ x^{2} - 2ax + b = 0 $ 中,若 $ a^{2} - b ＞ 0 $,则称 $ a $ 是该方程的中点值.
(1) 求方程 $ x^{2} - 8x + 3 = 0 $ 的中点值；
(2) 已知 $ x^{2} - mx + n = 0 $ 的中点值是 $ 3 $,其中一个根是 $ 2 $,求 $ mn $ 的值.

答案：
(1)4；
(2)由题意得$\frac{m}{2}=3,$
∴m=6.把x=2代入x² -mx +n=0,得4 -6×2 +n=0,解得n=8.
∵3² -8=1＞0,
∴mn=6×8=48.

10. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0) $ 的两根分别为 $ x_{1},x_{2} $,且 $ x_{1} = 2x_{2} $. 若 $ a + b + c = 0 $,求 $ \frac{b}{a} $ 的值.

答案： 由$a + b + c = 0$，得$x = 1$为方程的一个根。又$x_{1}=2x_{2}$，所以方程的另一个根为$\frac{1}{2}$或$2$。
当两根分别为$1$，$2$时，得$\left\{\begin{array}{l}a + b + c = 0,\\\frac{4a}{a}=3b + c = 0,\end{array}\right.$ ①
②$-$①得$3a + b = 0$，$\frac{b}{a}=-3$。
当两根分别为$1$，$\frac{1}{2}$时，得$\left\{\begin{array}{l}a + b + c = 0,\\\frac{a}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}=0,\end{array}\right.$ ①
①$-$②得$\frac{3a}{4}+\frac{b}{2}=0$，即$3a + 2b = 0$，$\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}$。
综上，$\frac{b}{a}=-3$或$-\frac{3}{2}$。