《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 方程 $ x ^ { 2 } = 4 $ 的解为 $ x _ { 1 } = $2, $ x _ { 2 } = $-2.

答案： 2，-2

2. 方程 $ 2 x ^ { 2 } = 1 $ 的解为 $ x _ { 1 } = $$\frac {\sqrt {2}}{2}$, $ x _ { 2 } = $$-\frac {\sqrt {2}}{2}$.

答案： $\frac {\sqrt {2}}{2},-\frac {\sqrt {2}}{2}$

3. 方程 $ ( x - 1 ) ^ { 2 } = 4 $ 的解为 $ x _ { 1 } = $3, $ x _ { 2 } = $-1.

答案： 3，-1

4. 若 $ 2 x ^ { 2 } + 3 $ 与 $ 2 x ^ { 2 } - 4 $ 互为相反数,则 $ x $ 为(D)
A.$ \frac { 1 } { 2 } $
B.2
C.$ \pm 2 $
D.$ \pm \frac { 1 } { 2 } $

答案： D

5. 若 $ ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 5 ) ^ { 2 } = 64 $,则 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } $ 等于(A)
A.13
B.13 或 - 3
C.- 3
D.以上都不对

答案： A

6. 下列说法：①方程 $ x ^ { 2 } = 1 $ 的根为 $ x _ { 1 } = 1 $, $ x _ { 2 } = - 1 $；②方程 $ x ^ { 2 } = 0 $ 的根为 $ x = 0 $；③方程 $ ( x - 1 ) ^ { 2 } = 0 $ 的根为 $ x _ { 1 } = x _ { 2 } = 0 $；④方程 $ x ^ { 2 } - 2 = 0 $ 的根为 $ x _ { 1 } = \sqrt { 2 } $, $ x _ { 2 } = - \sqrt { 2 } $,其中正确的有(A)
A.①④
B.①②
C.①②③
D.①②③④

答案： A

7. 关于 $ x $ 的方程 $ a ( x + m ) ^ { 2 } + p = 0 $( $ a $, $ m $, $ p $ 为常数,且 $ a \neq 0 $)的解为 $ x _ { 1 } = 1 $, $ x _ { 2 } = - 3 $,那么方程 $ a ( x + m + 3 ) ^ { 2 } + p = 0 $ 的解为(A)
A.$ x _ { 1 } = - 2 $, $ x _ { 2 } = - 6 $
B.$ x _ { 1 } = 4 $, $ x _ { 2 } = 0 $
C.$ x _ { 1 } = 1 $, $ x _ { 2 } = - 3 $
D.以上都不对

答案： A

8. 解下列方程：
(1) $ 4 x ^ { 2 } = 5 $；
(2) $ ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } = 25 $；
(3) $ 3 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 9 = 0 $；
(4) $ ( 2 y - 1 ) ^ { 2 } = ( 3 y + 4 ) ^ { 2 } $.

答案：
(1)$x_{1}=\frac {\sqrt {5}}{2},x_{2}=-\frac {\sqrt {5}}{2}$;
(2)$x_{1}=3,x_{2}=-2$;
(3)$x_{1}=\sqrt {3}-1,x_{2}=-\sqrt {3}-1$;
(4)$2y-1=3y+4$或$2y-1=-(3y+4)$,解得$y_{1}=-5,y_{2}=-\frac {3}{5}.$

9. 如图,正方形 $ A B C D $ 的面积为 $ 48 \mathrm { cm } ^ { 2 } $,正方形 $ E F G H $ 与正方形 $ A B C D $ 有相同的中心,且 $ B C // E F $. 若阴影部分的面积是正方形 $ A B C D $ 的面积的一半,求正方形 $ E F G H $ 的边长.

答案： 设正方形 EFGH 的边长为x cm,依题意有$x^{2}=\frac {1}{2}×48$,解得$x_{1}=2\sqrt {6},x_{2}=-2\sqrt {6}$(舍去).

10. 已知一元二次方程 $ ( x - 3 ) ^ { 2 } = 1 $ 的两个解恰好分别是等腰三角形 $ A B C $ 的底边长和腰长,求 $ \triangle A B C $ 的周长.

答案： $\because (x-3)^{2}=1,\therefore x-3=\pm 1$.解得$x_{1}=4,x_{2}=2.$一元二次方程$(x-3)^{2}=1$的两个解恰好分别是等腰三角形 ABC 的底边长和腰长.分两种情况:①当底边长和腰长分别为4和2时,$2+2=4$,此时不能构成三角形;②当底边长和腰长分别是2和4时,符合三角形三边的关系,此时△ABC的周长为$2+4+4=10.$综上,△ABC的周长为10.