《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 如图,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ C $,$ D $,$ E $ 都是 $ \odot O $ 上的点,则 $ \angle 1 + \angle 2 = $$90^{\circ }$.

答案： $90^{\circ }$

2. 如图,已知 $ AB $ 是半圆 $ O $ 的直径,$ \angle BAC = 30^{\circ} $,$ D $ 是 $ \overset{\frown}{AC} $ 的中点,则 $ \angle DAC = $$30^{\circ }$.

答案： $30^{\circ }$

3. 如图,$ \triangle ABC $ 的顶点 $ A $,$ B $,$ C $ 均在 $ \odot O $ 上,若 $ \angle ABC + \angle AOC = 90^{\circ} $,则 $ \angle AOC $ 的大小是(C)

A.$ 30^{\circ} $
B.$ 45^{\circ} $
C.$ 60^{\circ} $
D.$ 70^{\circ} $

答案： C

4. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ \angle B = 30^{\circ} $,以 $ C $ 为圆心,$ CA $ 为半径的圆交 $ AB $ 于点 $ D $,则下列说法不正确的是(A)

A.$ AC = \frac{1}{2}BC $
B.$ AC = \frac{1}{2}AB $
C.$ BD = DC $
D.$ \triangle BCD $ 是等腰三角形

答案： A

5. 如图,在半径为 3 的 $ \odot O $ 中,$ AB $ 是直径,$ AC $ 是弦,$ D $ 是 $ \overset{\frown}{AC} $ 的中点,$ AC $ 与 $ BD $ 交于点 $ E $. 若 $ E $ 是 $ BD $ 的中点,则 $ AC $ 的长是(D)

A.$ \frac{5}{2}\sqrt{3} $
B.$ 3\sqrt{3} $
C.$ 3\sqrt{2} $
D.$ 4\sqrt{2} $

答案： D

6. 如图,在 $ \odot O $ 中,直径 $ AB $ 与弦 $ CD $ 相交于点 $ P $,$ \angle CAB = 40^{\circ} $,$ \angle APD = 65^{\circ} $.
(1) 求 $ \angle B $ 的大小；
(2) 已知 $ AD = 6 $,求圆心 $ O $ 到 $ BD $ 的距离.

答案：
(1)$\because ∠APD=∠C+∠CAB,\therefore ∠C=65^{\circ }-40^{\circ }=25^{\circ },\therefore ∠B=∠C=25^{\circ }.$
(2)作$OE⊥BD$于E,则$DE=BE.$又$\because AO=BO,\therefore OE=\frac {1}{2}AD=\frac {1}{2}×6=3$.
∴圆心O到BD的距离为3.

7. 如图,$ AB $ 是弦,$ OD \perp AB $,垂足为 $ C $,点 $ E $ 在 $ \odot O $ 上.
(1) 若 $ \angle AOD = 50^{\circ} $,求 $ \angle DEB $ 的度数；
(2) 若 $ OC = 3 $,$ OA = 5 $,求 $ BD $ 的长.

答案：
(1)$∠DEB=\frac {1}{2}∠DOB=\frac {1}{2}∠AOC=25^{\circ }.$
(2)$\because OC=3,OA=5,OD⊥AB$于点C.$\therefore AC=BC=\frac {1}{2}AB=\sqrt {5^{2}-3^{2}}=4,$$CD=OD-OC=5-3=2,$$\therefore BD=\sqrt {CB^{2}+CD^{2}}=\sqrt {4^{2}+2^{2}}=2\sqrt {5}.$

8. 如图(1),已知 $ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,弦 $ CD \perp AB $ 于点 $ E $,点 $ M $ 在 $ \odot O $ 上,$ \angle M = \angle D $.
(1) 判断 $ BC $ 与 $ MD $ 的位置关系,并说明理由；
(2) 若 $ AE = 16 $,$ BE = 4 $,求线段 $ CD $ 的长；
(3) 如图(2),若 $ MD $ 恰好经过圆心 $ O $,求 $ \angle D $ 的度数.

答案：
(1)$BC// MD$.理由如下:由圆周角定理得$∠M=∠C.$又$\because ∠M=∠D,\therefore ∠C=∠D,\therefore BC// MD.$
(2)连接OD.$\because AE=16,BE=4,\therefore AB=20,\therefore OD=OB=10,\therefore OE=10-4=6.\therefore ED=\sqrt {OD^{2}-OE^{2}}=8.\because AB$是$\odot O$的直径,弦$CD⊥AB,\therefore CD=2ED=16.$
(3)$\because ∠M=\frac {1}{2}∠BOD,∠M=∠D,\therefore ∠D=\frac {1}{2}∠BOD.$$\because CD⊥AB,\therefore ∠D+∠BOD=90^{\circ },\therefore ∠D=30^{\circ }.$