《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例 1 下列函数解析式中,不是反比例函数的解析式的是(D)
A.$ y = -\frac{\sqrt{2}}{x} $
B.$ y = \frac{1}{x} $
C.$ y = -\frac{3}{2x} $
D.$ y = \frac{x}{3} $
【思路导析】形如 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的函数是反比例函数,即自变量 $ x $ 和函数 $ y $ 的积为一个不为零的常数。
【请你解答】______.

答案： D

例

2 某长方体的体积为 $ 100 \mathrm{cm}^3 $,长方体的高为 $ h $(单位：$ \mathrm{cm} $)与底面积 $ S $ 的函数关系式为(B)
A.$ h = \frac{S}{100} $
B.$ h = \frac{100}{S} $
C.$ h = 100S $
D.$ \frac{h}{S} = 100 $
【思路导析】找准等量关系列出等式,再变化成函数关系式。
【请你解答】______.

答案： B

例

3 已知 $ y $ 是 $ x $ 的反比例函数,且当 $ x = -4 $ 时,$ y = \frac{1}{2} $。
(1)写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式；
(2)求当 $ x = -6 $ 时,函数 $ y $ 的值；
(3)求当 $ y = 18 $ 时,$ x $ 的值。

答案： 【探究点拨】反比例函数解析式可设为 $ y = \frac{k}{x} $ ($ k \neq 0 $),$ k $ 为待定常数。
【规范解答】
(1)设 $ y = \frac{k}{x} $,因为 $ x = -4 $ 时,$ y = \frac{1}{2} $,所以 $ k = -2 $,即 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式为 $ y = -\frac{2}{x} $；
(2)把 $ x = -6 $ 代入 $ y = -\frac{2}{x} $ 中得 $ y = \frac{1}{3} $；
(3)把 $ y = 18 $ 代入 $ y = -\frac{2}{x} $ 中得 $ x = -\frac{1}{9} $。

1. 若函数 $ y = (m + 1)x^{|m| - 2} $ 是反比例函数,求：
(1)$ m $ 的值；
(2)此函数的解析式。

答案：
(1)因为$y=(m+1)x^{|m|-2}$是反比例函数,故$|m|-2=-1$且$m+1≠0$,故$m=1$;
(2)$y=\frac{2}{x}$.

2. 已知 $ y = y_1 + y_2 $,$ y_1 $ 与 $ x $ 成正比例,$ y_2 $ 与 $ x $ 成反比例,并且当 $ x = 1 $ 时,$ y = 4 $；当 $ x = 2 $ 时,$ y = 5 $,求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式。

答案： 设$y_{1}=k_{1}x,y_{2}=\frac{k_{2}}{x}(k_{1},k_{2}$为常数,且$k_{1}≠0,k_{2}≠0)$,则有$y=k_{1}x+\frac{k_{2}}{x}$,因为$x=1$时,$y=4$;$x=2$时,$y=5$,故有$\left\{\begin{array}{l} k_{1}+k_{2}=4,\\ 2k_{1}+\frac{k_{2}}{2}=5,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} k_{1}=2,\\ k_{2}=2.\end{array}\right.$故$y$与$x$之间的函数解析式为$y=2x+\frac{2}{x}$.