《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例1 (1)线段的对称中心是线段中点,平行四边形的对称中心是对角线的交点,圆的对称中心是圆心；
(2)下列图形,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是(C)
A. 三角形 B. 平行四边形
C. 正方形 D. 梯形
【思路导析】(1)运用中心对称的定义回答；(2)运用中心对称和轴对称的定义回答.
【请你解答】(1)线段中点，对角线的交点，圆心；
(2)C.

答案：
(1)线段中点，对角线的交点，圆心;
(2)C

例2 如图,线段AC与BD相交于点O,且AB//CD,AB= CD,点E,F关于点O对称,试证：BF= DE.
【思路导析】连接AD,BC,先证四边形ABCD是平行四边形,可知OA= OC,再由E,F关于点O对称知OE= OF,故可证BF= DE.

【请你解答】

答案： 连接AD,BC,
∵AB//CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD.又
∵E,F关于点O对称,
∴OE=OF,
∴BF=DE.

例3 如图,已知△ABC为等边三角形,若将△ABC绕点B旋转180°,得△EFB.

(1)探索线段EC与AB的数量关系,并证明；
(2)若AEFC是正方形,则∠ABC应为多少度?

答案： 【探究点拨】
(1)证明△AEC是直角三角形,且∠AEC= 30°；
(2)原等边三角形变为等腰直角三角形.
【规范解答】
(1)EC= 2AB.
理由：由旋转得BE= BC= AB,
∴∠1= ∠2.
而∠ABC= 60°,
∴∠1= ∠2= $\frac{1}{2}$∠ABC= 30°.
∴∠EAC= 30°+60°= 90°.
在Rt△AEC中,∠AEC= 30°,
∴EC= 2AC= 2AB.
(2)原等边三角形改为等腰直角三角形,即∠ABC= 90°,才能得到正方形AEFC.

1. 如图,将△ABC绕点C(0,1)旋转180°得到△A'B'C,设点A的坐标为(a,b),则点A'的坐标为(D)

A.(-a,-b)
B.(-a,-b-1)
C.(-a,-b+1)
D.(-a,-b+2)

答案： D

2. 如图,点O是□ABCD的对称中心,过点O作两条互相垂直的直线EF,GH,分别与□ABCD的四条边交于点E,F和点G,H,试说明四边形EGFH是中心对称图形,它有几条对称轴?

答案： 连接BD,可证△DOE≌△BOF,得OE=OF,同理OG=OH,
∴四边形EFGH为平行四边形,
∴▱EFGH是中心对称图形.又
∵EF⊥GH,
∴▱EFGH为菱形,
∴它有两条对称轴