《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

15. 已知抛物线 $ y = x^{2} + bx + c $ 经过点 $ A(2,-3) $,$ B(4,5) $。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标。

答案：
(1)把A(2,-3)和B(4,5)分别代入y=x²+bx+c，得{-3=4+2b+c,5=16+4b+c,解得{b=-2,c=-3,
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3.
(2)
∵y=x²-2x-3=(x-1)²-4,
∴抛物线的对称轴为直线x=1,顶点为(1,-4).

16. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx - 3 $ 的图象经过 $ A(2,-3) $,$ B(-1,0) $。
(1) 求二次函数的解析式；
(2) 要使该二次函数的图象与 $ x $ 轴只有一个交点,应把图象沿 $ y $ 轴向上平移多少个单位长度？

答案：
(1)由已知,有{4a+2b-3=-3,a-b-3=0,解得{a=1,b=-2,
∴解析式为y=x²-2x-3=(x-1)²-4.
(2)应把图象沿y轴向上平移4个单位长度.

17. 在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用 28m 长的篱笆围成一个矩形花园 $ ABCD $(篱笆只围 $ AB $,$ BC $ 两边),设 $ AB = x $ m。
(1) 若花园的面积为 $ 192m^{2} $,求 $ x $ 的值；
(2) 若在 $ P $ 处有一棵树与墙 $ CD $,$ AD $ 的距离分别是 15m 和 6m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园面积 $ S $ 能否为 $ 196m^{2} $？若能,请求出 $ x $ 的值；若不能,请说明理由。

答案：
(1)x的取值为12或16.
(2)不能,理由如下:
∵AB=x,
∴BC=28-x,
∴S=x(28-x)=-x²+28x=-(x-14)²+196.
∵在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15 m和6 m,又28-15=13,
∴6≤x≤13.当x=13时,S取到最大值为-(13-14)²+196=195,
∴不能,花园面积S的最大值为195 m².

18. 某宾馆有 50 个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天 180 元时,房间会全部住满。当每个房间每天的房价每增加 10 元时,就会有一个房间空闲。宾馆需对游客居住的每个房间每天支出 20 元的各种费用。根据规定,每个房间的房价不得高于 340 元。设每个房间的房价每天增加 $ x $ 元($ x $ 为 10 的正整数倍)。
(1) 设一天入住的房间数为 $ y $,直接写出 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式及自变量 $ x $ 的取值范围；
(2) 设宾馆一天的利润为 $ w $ 元,求 $ w $ 与 $ x $ 的函数关系式；
(3) 一天入住多少个房间时,宾馆的利润最大？最大利润是多少元？

答案：
(1)y=50-1/10x(0≤x≤160,且x是10的正整数倍);
(2)w=(50-1/10x)(180+x-20)=-1/10x²+34x+8000;
(3)w=-1/10(x-170)²+10890,当x＜170时,w随x增大而增大,但0≤x≤160,
∴当x=160时,w最大值=10880.此时入住房有50-1/10×160=34(间).

19. 如图,抛物线 $ y = x^{2} + bx + c $ 经过点 $ (3,12) $ 和 $ (-2,-3) $,与两坐标轴的交点分别为 $ A $,$ B $,$ C $,它的对称轴为直线 $ l $。
(1) 求该抛物线的解析式；
(2) $ P $ 是该抛物线上的点,过点 $ P $ 作 $ l $ 的垂线,垂足为 $ D $,$ E $ 是 $ l $ 上的点。要使以 $ P $,$ D $,$ E $ 为顶点的三角形与 $ \triangle AOC $ 全等,求满足条件的点 $ P $,$ E $ 的坐标。

答案：
(1)将点(3,12)和(-2,-3)代入抛物线解析式得{12=9+3b+c,-3=4-2b+c,解得{b=2,c=-3,故抛物线的解析式为y=x²+2x-3.
(2)由
(1)得抛物线的对称轴为直线x=-1,令y=0,则x=-3或1,令x=0,则y=-3,故点A、B、C的坐标分别为(-3,0),(1,0),(0,-3),故OA=OC=3.
∵∠PDE=∠AOC=90°,
∴当PD=DE=3时,以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等.设点P(m,n),
∵点P在抛物线对称轴右侧,
∴m＞-1,当m=2时,n=4+4-3=5,故点P(2,5),故点E(-1,2)或(-1,8);当点P在抛物线对称轴的左侧时,由抛物线的对称性可得,点P(-4,5),此时点E坐标同上.综上,点P的坐标为(2,5)或(-4,5),点E的坐标为(-1,2)或(-1,8).