《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 已知△ABC∽△DEF,相似比为 3:1,且△ABC 的周长为 18,则△DEF 的周长为6。

答案： 6

2. 在△ABC 中,AB = 6cm,AC = 5cm,点 D,E 分别在 AB,AC 上。若△ADE 与△ABC 相似,且$S_{△ADE}:S_{四边形BCED}= 1:8$,则 AD = $\frac{5}{3}\ cm$或$2\ cm$。

答案： $\frac{5}{3}\ cm$或$2\ cm$

3. 如图,△ABC 中,AD,BE 是两条中线,则$S_{△EDC}:S_{△ABC}=$(D)

A.1:2
B.2:3
C.1:3
D.1:4

答案： D

4. 如图,A,B 是双曲线$y = \frac{k}{x}$上的两点,过点 A 作 AC⊥x 轴,交 OB 于点 D,垂足为 C。若△ODC 的面积为 1,D 为 OB 的中点,则 k 的值为(D)

A.$\frac{3}{4}$
B.2
C.4
D.8

答案： D

5. 如图,梯形 ABCD 中,AB//CD,△DCE 的面积与△DCB 的面积比为 1:3,则△DCE 的面积与△BEA 的面积比为(B)

A.1:3
B.1:4
C.1:5
D.1:9

答案： B

6. 如图,在△ABC 中,D,E 分别是边 AB,BC 上的点,且 DE//AC。若$S_{△BDE}:S_{△CDE}= 1:3$,求$S_{△DOE}:S_{△AOC}$的值。

答案： $\because S_{\triangle BDE}:S_{\triangle CDE}=1:3$,$\therefore BE:EC=1:3$,$\therefore BE:BC=1:4$.$\because DE// AC$,$\therefore \triangle BED\backsim \triangle BCA$.$\therefore \frac{DE}{AC}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{4}$.$\because DE// AC$,$\therefore \triangle DOE\backsim \triangle COA$.$\frac{S_{\triangle DOE}}{S_{\triangle AOC}}=\left(\frac{DE}{AC}\right)^2=\frac{1}{16}$.

7. 矩形 ABCD 中,AB = 30,BC = 20,矩形 ABCD∽矩形 A′B′C′D′,且相似比为 1:2,试求矩形 A′B′C′D′的周长和面积。

答案： 周长为200,面积为2400.

8. 如图,平行四边形 ABCD 中,AE:EB = 1:2,且$S_{△AEF}= 6cm^2$。
(1)求△AEF 与△CDF 周长的比；
(2)求$S_{△CDF}$。

答案：
(1)$AE// CD$,$\therefore \triangle AEF\backsim \triangle CDF$,$\frac{l_{\triangle AEF}}{l_{\triangle CDF}}=\frac{AE}{CD}$.$AE=EB=1:2$,$\therefore AE:AB=1:3$,而$AE:CD=1:3$.$\therefore \frac{l_{\triangle AEF}}{l_{\triangle CDF}}=\frac{1}{3}$.
(2)$\frac{S_{\triangle CDF}}{S_{\triangle AEF}}=\left(\frac{3}{1}\right)^2$,$\therefore S_{\triangle CDF}=9× 6=54\ (cm^2)$.

9. 如图所示,将矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠,顶点 D 恰好落在 BC 边上的 F 点,已知 DE = 5,AB = 8。
(1)求证：△ABF∽△FCE；
(2)求$\frac{S_{△ABF}}{S_{△FCE}}$。

答案：
(1)$\because \angle ABF=\angle FCE=90°$,$\angle AFE=\angle D=90°$,$\therefore \angle AFB+\angle CFE=90°$.而$\angle AFB+\angle BAF=90°$,$\therefore \angle BAF=\angle CFE$.$\therefore \triangle ABF\backsim \triangle FCE$.
(2)由折叠知$EF=DE=5$,$\therefore EC=8-5=3$.由勾股定理:$FC=4$,$\therefore \frac{S_{\triangle ABF}}{S_{\triangle FCE}}=\left(\frac{AB}{CF}\right)^2=\left(\frac{8}{4}\right)^2=4:1$.