《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 方程$x(x - 1) = 0的解为x_{1} = $0,$x_{2} = $1.

答案： 0,1

2. 方程$x^{2} - 3x = 0$的根为0,3.

答案： 0,3

3. 方程$x(x + 1) = 3(x + 1)的解为x_{1} = $-1,$x_{2} = $3.

答案： -1,3

4. 方程$(x - 2)^{2} - 3(2 - x) = 0$的解是(B)
A.$2或5$
B.$2或-1$
C.$-2或1$
D.$-2或-5$

答案： B

5. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤是(A)
①将方程化成一元二次方程的一般形式$ax^{2} + bx + c = 0$；②将方程的左边$ax^{2} + bx + c$分解成两个一次因式的积；③令每一个因式分别为零,得到两个一元一次方程；④解两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.
A.①②③④
B.②①④③
C.④③①②
D.②③④①

答案： A

6. 如果$x^{2} - 2x - 2 = (x + 1)^{0}$,那么$x$的值为(C)
A.$3或-1$
B.$0或1$
C.$3$
D.$-1$

答案： C

7. 解下列方程：
(1)$4x^{2} - 144x = 0$；
(2)$2(5x - 1)^{2} = 3(1 - 5x)$；
(3)$(x - 1)^{2} = (3 + 2x)^{2}$.

答案：
(1)$x_{1}=0$,$x_{2}=36$;
(2)$x_{1}=\frac{1}{5}$,$x_{2}=-\frac{1}{10}$;
(3)$x_{1}=-4$,$x_{2}=-\frac{2}{3}$

8. 如图,直角三角形的两直角边长恰为方程$x^{2} - 9x + 20 = 0$的两个根,求直角三角形斜边的长.

答案： $(x-4)(x-5)=0$,$x_{1}=4$,$x_{2}=5$,$AB=\sqrt{4^{2}+5^{2}}=\sqrt{41}$.

9. 解方程：$\frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x} - 4 = 0$.
解：设$\frac{1}{x} = A$,则$A^{2} + 3A - 4 = 0$.
拆项,得$A^{2} + 4A - A - 4 = 0$,
即$A(A + 4) - (A + 4) = 0$.
$\therefore (A + 4)(A - 1) = 0$,
$\therefore A + 4 = 0$,或$A - 1 = 0$,
$\therefore A_{1} = $-4,$A_{2} = $1.
$\therefore x_{1} = $$-\frac{1}{4}$,$x_{2} = $1.

答案： -4,1,$-\frac{1}{4}$,1

10. 阅读材料：
由多项式乘法得$(x + a)(x + b) = x^{2} + (a + b)x + ab$,将该式从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：$x^{2} + (a + b)x + ab = (x + a) \cdot (x + b)$.
示例：
分解因式$x^{2} + 5x + 6 = x^{2} + (2 + 3)x + 2 × 3 = (x + 2)(x + 3)$.
(1)尝试：$x^{2} + 6x + 8 = (x + $2$)(x + $4$)$；
(2)应用：请用上述方法解方程$x^{2} - 3x - 4 = 0$；
(3)拓展：用因式分解法解方程$x^{2} - kx - 16 = 0$时,得到的两根均为整数,则$k$的值可以为0或±6或±15.
(2)解方程$x^{2}-3x-4=0$，因式分解得$(x-4)(x+1)=0$，则$x-4=0$或$x+1=0$，解得$x_{1}=4$，$x_{2}=-1$。

答案：
(1)2,4
(2)$x_{1}=-1$,$x_{2}=4$
(3)0或±6或±15