《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例

1 已知抛物线经过$(1,0)$,$(-1,-2)$,$(3,10)$三点,求此抛物线的解析式。
【思路导析】设该抛物线的解析式为$y = ax^{2}+bx + c$,把三点的坐标分别代入解析式中,解关于$a$,$b$,$c$的三元一次方程组即可。
【请你解答】

答案： 设解析式为$y=ax^{2}+bx+c$,则$\left\{\begin{array}{l} a+b+c=0,\\ a-b+c=-2,\\ 9a+3b+c=10,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=1,\\ b=1,\\ c=-2.\end{array}\right. $$\therefore y=x^{2}+x-2.$

例 2 抛物线的顶点为$(0,-2)$,且过点$(1,4)$,求此抛物线的解析式。
【思路导析】设抛物线的解析式为$y = a(x - h)^{2}+k$。
【请你解答】

答案： 设解析式为$y=a(x-h)^{2}+k$,把$(0,-2)$代入得$y=a(x-0)^{2}-2$,再把$(1,4)$代入得$4=a(1-0)^{2}-2,a=6.$$\therefore y=6x^{2}-2.$

例 3 已知抛物线与$x轴的一个交点为A(3,0)$,另一个交点为$B$,抛物线与$y轴的交点为C$,若$\triangle ABC的面积为3$,抛物线的对称轴为直线$x = 4$,求抛物线的解析式。

答案： 【探究点拨】由抛物线的对称性求出点$B$的坐标,由三角形面积可求点$C$的坐标,再求解析式。
【规范解答】$\because对称轴为直线x = 4且A(3,0)$,
$\therefore点B的坐标为(5,0)$。
$\because S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}× AB× OC = 3$,
$\therefore \frac{1}{2}×(5 - 3)× OC = 3$,
$\therefore OC = 3$,故点$C的坐标为(0,3)或(0,-3)$。
设抛物线的解析式为$y = ax^{2}+bx + c$。
当点$C的坐标为(0,3)$时,有
$\begin{cases}9a + 3b + c = 0,\\25a + 5b + c = 0,\\c = 3.\end{cases} 解得\begin{cases}a= \frac{1}{5},\\b = -\frac{8}{5},\\c = 3.\end{cases} $
$\therefore y= \frac{1}{5}x^{2}-\frac{8}{5}x + 3$。
当点$C的坐标为(0,-3)$时,同理可求得
$y = -\frac{1}{5}x^{2}+\frac{8}{5}x - 3$。
综上所述,抛物线的解析式为
$y= \frac{1}{5}x^{2}-\frac{8}{5}x + 3或y = -\frac{1}{5}x^{2}+\frac{8}{5}x - 3$。

1. 已知二次函数的图象经过原点及点$(2,0)$,且顶点到$x轴的距离为3$,则该二次函数的解析式是$y=-3x^{2}+6x$或$y=3x^{2}-6x$。

答案： $y=-3x^{2}+6x$或$y=3x^{2}-6x$

2. 已知一个二次函数,当$x = -1$时,$y = -1$；当$x = 0$时,$y = -2$；当$x = 1$时,$y = 1$。
(1)求二次函数的解析式；
(2)写出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴方程。

答案：
(1)设解析式为$y=ax^{2}+bx+c$,代入得,$\left\{\begin{array}{l} a-b+c=-1,\\ c=-2,\\ a+b+c=1,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=2,\\ b=1,\\ c=-2.\end{array}\right. $$\therefore y=2x^{2}+x-2.$
(2)$-\frac {b}{2a}=-\frac {1}{2×2},\frac {4ac-b^{2}}{4a}=\frac {4×2×(-2)-1^{2}}{4×2},$即顶点坐标为$(-\frac {1}{4},-\frac {17}{8})$,对称轴为$x=-\frac {1}{4}.$